Phương trình theo sin x ± cos x: đặt ẩn và kiểm miền giá trị

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Tổng và tích của $\sin x,\cos x$ liên hệ qua $\sin^2x+\cos^2x=1$. Vì vậy nhiều phương trình chứa cả hai hàm có thể chuyển thành một phương trình đại số theo tổng hoặc hiệu của chúng.

Mục tiêu: nhận dạng biểu thức đối xứng; thay đúng sin2x; lọc miền giá trị và giải lại phương trình tổng hoặc hiệu.

Kiến thức cần biết: công thức cộng, nhân đôi và phương trình lượng giác cơ bản.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Ẩn phụ cho tổng và hiệu

Với $t=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\pi/4)$, tập giá trị đúng là $[-\sqrt2;\sqrt2]$, không phải $[-1;1]$. Bình phương cho $t^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x$.

Ngược lại, mọi $t$ trong đoạn này đều đạt được vì sin nhận mọi giá trị trong $[-1;1]$. Vì thế sau khi giải phương trình theo $t$, lọc đúng đoạn ấy là đủ để có thể trả về biến $x$.

Nếu đặt $u=\sin x-\cos x=\sqrt2\sin(x-\pi/4)$, vẫn có $u\in[-\sqrt2;\sqrt2]$, nhưng $u^2=1-\sin2x$. Do đó $\sin2x=1-u^2$. Dấu của hạng chứa $u^2$ thay đổi theo cách đặt ẩn.

2. Quy về phương trình đại số

Với $a(\sin x+\cos x)+b\sin x\cos x=c$, đặt $t$ như trên. Phương trình tương đương

Nếu $b=0$, phương trình theo $t$ không còn bậc hai. Nếu cả $a=b=0$, xét trực tiếp $0=c$. Với mỗi nghiệm $t_0$ được nhận, giải $\sin(x+\pi/4)=t_0/\sqrt2$. Không dùng phương trình $t^2=t_0^2$ thay cho $t=t_0$, vì bước đó có thể thêm dấu không thuộc bài toán.

Các công thức biểu diễn tích được suy ra từ bình phương, nhưng ở bước trả nghiệm phải giữ tổng hoặc hiệu đã định nghĩa. Đây là lý do cần kiểm một góc đại diện của từng họ cuối cùng.

3. Hai ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Dùng tổng sin và cos

Giải $\sin x+\cos x+\sin2x+1=0$. Đặt $t=\sin x+\cos x\in[-\sqrt2;\sqrt2]$, thay $\sin2x=t^2-1$ được $t^2+t=0$. Cả $t=0$ và $t=-1$ đều thuộc miền.

Với $t=0$, ta có $\sin(x+\pi/4)=0$, nên $x=-\pi/4+k\pi$. Với $t=-1$, phương trình $\sin(x+\pi/4)=-\sqrt2/2$ cho $x=-\pi/2+2k\pi$ hoặc $x=\pi+2k\pi$. Vậy tập nghiệm là hợp ba họ:

Góc $x=0$ không phải nghiệm: vế trái bằng $2$. Vì thế không được thay họ $\pi+2k\pi$ bằng $2k\pi$.

Ví dụ 2. Dùng hiệu sin và cos

Giải $\sin x-\cos x+\sin2x-1=0$. Đặt $u=\sin x-\cos x$, khi đó $\sin2x=1-u^2$. Phương trình trở thành $u-u^2=0$, cho $u=0$ hoặc $u=1$, đều hợp lệ.

Nhánh $u=0$ cho $x=\pi/4+k\pi$. Nhánh $u=1$ cho $\sin(x-\pi/4)=\sqrt2/2$, nên $x=\pi/2+2k\pi$ hoặc $x=\pi+2k\pi$. Góc $3\pi/2$ không thuộc nhánh này vì hiệu sin và cos bằng $-1$.

4. Bài tập tự luyện

1. Giải $\sin x+\cos x=\sqrt2$.
2. Giải $\sin x+\cos x+2\sin x\cos x-1=0$.
3. Giải $\sin x-\cos x=0$ và tìm sin2x tại các nghiệm.

5. Những lỗi cần tránh

Không dùng sai miền của tổng. Không thay nhầm $1-u^2$ bằng $u^2-1$ khi đặt hiệu. Không chỉ giữ phương trình bình phương ở bước trả nghiệm. Mỗi nhánh phải được giải đủ và kiểm bằng đúng tổng hoặc hiệu ban đầu.

6. Bài học liên quan

• Phương trình lượng giác cơ bản
• Công thức lượng giác
• Phương trình a sin x + b cos x = c
• Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
• Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai

7. Tài liệu đi kèm bài gốc

• Tài liệu bài tập Scribd trong bài gốc 1
• Liên kết ghi danh trong bài gốc