Phương trình lượng giác cơ bản: nghiệm tổng quát và điều kiện xác định
Giải phương trình sin, cos, tan, cot với đúng chu kỳ và các nhánh nghiệm; kiểm tra miền giá trị, góc ban đầu và cách dùng hàm ngược.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Một giá trị lượng giác thường ứng với nhiều góc. Vì thế giải phương trình không dừng ở một giá trị trên máy tính: phải tìm đủ các họ nghiệm và giữ điều kiện xác định.
Mục tiêu: giải bốn phương trình lượng giác cơ bản; phân biệt giá trị chính với nghiệm tổng quát; chọn nghiệm trên một khoảng.
Kiến thức cần biết: đường tròn lượng giác, radian, chu kỳ và các giá trị lượng giác đặc biệt.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Điều kiện và đơn vị của góc
Trong bài, $x$ là số thực đo bằng radian và $k\in\mathbb Z$. Nếu dùng độ, phải thay $2\pi$ bằng $360^\circ$ và $\pi$ bằng $180^\circ$ trong toàn bộ phép tính; không trộn hai đơn vị.
Vì $-1\le\sin x,\cos x\le1$, các phương trình $\sin x=a$, $\cos x=a$ vô nghiệm thực khi $|a|>1$. Hàm $\tan x$ chỉ xác định khi $\cos x\ne0$, còn $\cot x$ cần $\sin x\ne0$. Trên các miền này, tan và cot nhận mọi giá trị thực.
2. Bốn công thức nghiệm
Hai nhánh sin tương ứng với hai điểm cùng tung độ trên đường tròn; hai nhánh cos có cùng hoành độ. Khi giá trị là $1$ hoặc $-1$, hai nhánh có thể trùng thành một họ. Với giá trị $0$, có thể gộp nghiệm thành họ chu kỳ $\pi$.
Các điều kiện ghi bên phải bảo đảm vế chứa $\alpha$ tồn tại. Chẳng hạn từ $\tan x=\tan\alpha$ suy ra $\sin(x-\alpha)=0$ bằng cách nhân với hai cos khác $0$. Chiều ngược lại theo chu kỳ $\pi$ và cũng giữ miền xác định.
Để chọn góc chính, dùng $\arcsin a\in[-\pi/2;\pi/2]$, $\arccos a\in[0;\pi]$ và $\arctan a\in(-\pi/2;\pi/2)$. Trong bài này, $\operatorname{arccot}a$ là góc duy nhất trong $(0;\pi)$ có cot bằng $a$. Góc chính chỉ là bước trung gian để viết các họ nghiệm.
3. Tám ví dụ cơ bản
Ví dụ 1. Sin của góc đặc biệt
$\sin x=1/2=\sin(\pi/6)$ cho $x=\pi/6+2k\pi$ hoặc $x=5\pi/6+2k\pi$. Chỉ viết $x=\pi/6$ sẽ bỏ cả nhánh thứ hai và các vòng quay.
Ví dụ 2. Sin của giá trị không đặc biệt
Giải $\sin x=1/3$. Đặt $\alpha=\arcsin(1/3)$. Khi đó $\sin\alpha=1/3$ và nghiệm là $x=\alpha+2k\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+2k\pi$. Không cần làm tròn $\alpha$ để có đáp án chính xác.
Ví dụ 3. Cos của góc đặc biệt
$\cos x=1/2=\cos(\pi/3)$ cho $x=\pi/3+2k\pi$ hoặc $x=-\pi/3+2k\pi$. Hai họ có thể viết gọn $x=\pm\pi/3+2k\pi$.
Ví dụ 4. Cos của giá trị không đặc biệt
Giải $\cos x=1/3$. Đặt $\beta=\arccos(1/3)$. Phương trình trở thành $\cos x=\cos\beta$, nên $x=\pm\beta+2k\pi$. Phải giữ hàm cos trong phép biến đổi này.
Ví dụ 5. Tan của một góc cho trước
Với $\cos\alpha\ne0$, phương trình $\tan x=\tan\alpha$ có nghiệm $x=\alpha+k\pi$. Chẳng hạn $\alpha=\pi/4$ cho $x=\pi/4+k\pi$. Góc $\alpha$ không thể bị bỏ khỏi công thức.
Ví dụ 6. Tan bằng 3
Giải $\tan x=3$. Đặt $\gamma=\arctan3$, ta được $x=\gamma+k\pi$. Do $\gamma\in(-\pi/2;\pi/2)$, cos của mọi nghiệm khác $0$; các nghiệm đều thuộc miền xác định.
Ví dụ 7. Cot của góc đặc biệt
$\cot x=1/\sqrt3=\cot(\pi/3)$ cho $x=\pi/3+k\pi$. Mọi nghiệm có sin khác $0$.
Ví dụ 8. Cot bằng 3
Giải $\cot x=3$. Đặt $\delta=\operatorname{arccot}3$, hoặc dùng $\delta=\arctan(1/3)$ vì giá trị này nằm trong $(0;\pi/2)$. Nghiệm là $x=\delta+k\pi$.
4. Bài tập tự luyện
- Giải $\sin x=0$ và $\cos x=-1$.
- Giải $\sin(2x)=1/2$ trên $[0;\pi)$.
- Giải $\tan x=-1$ và cho biết $\sin x=3/2$ có nghiệm không.
Mở gợi ý và đáp án
- $\sin x=0$ cho $x=k\pi$; $\cos x=-1$ cho $x=\pi+2k\pi$.
- Từ $2x=\pi/6+2k\pi$ hoặc $2x=5\pi/6+2k\pi$, được $x=\pi/12+k\pi$ hoặc $x=5\pi/12+k\pi$. Trên khoảng đã cho chỉ có $\pi/12,5\pi/12$.
- $x=-\pi/4+k\pi$. Phương trình sin vô nghiệm vì $3/2>1$.
5. Những lỗi cần tránh
Không bỏ góc ban đầu trong công thức tan/cot. Không dùng chu kỳ $2\pi$ để chỉ nhận một phần nghiệm của tan/cot. Khi chia góc như $2x$, phải chia cả chu kỳ. Kiểm miền xác định trước và lọc khoảng sau khi tìm nghiệm tổng quát.
6. Bài học liên quan
- Đường tròn lượng giác
- Biểu diễn lượng giác
- Công thức lượng giác
- Phương trình a sin x + b cos x = c
- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Để lại một bình luận