Phương trình lượng giác bậc hai đẳng cấp: hai cách giải và nghiệm bị bỏ
Giải phương trình lượng giác bậc hai bằng hạ bậc hoặc đặt tan x; xét riêng cos x = 0 và các trường hợp phương trình giảm bậc.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Phương trình chứa $\sin^2x,\sin x\cos x,\cos^2x$ có hai cách giải tự nhiên: hạ bậc về góc $2x$, hoặc chia cho $\cos^2x$ sau khi đã kiểm trường hợp cos bằng $0$. Hai cách phải cho cùng tập nghiệm.
Mục tiêu: dùng hai phương pháp và kiểm chéo; giữ nghiệm cos bằng không; xử lý phương trình theo tan giảm bậc hoặc đồng nhất.
Kiến thức cần biết: công thức hạ bậc, phương trình bậc nhất theo sin và cos, miền xác định của tan.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Dạng phương trình
Xét $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d$, với các hệ số thực. Vì $1=\sin^2x+\cos^2x$, phương trình tương đương
Vế trái là biểu thức thuần nhất bậc hai theo sin và cos. Các hệ số có thể bằng $0$, nên phương trình sau phép biến đổi có thể giảm bậc hoặc trở thành đồng nhất.
2. Hai phương pháp không bỏ trường hợp
Để hạ bậc, dùng $\sin^2x=(1-\cos2x)/2$, $\cos^2x=(1+\cos2x)/2$ và $\sin x\cos x=\sin2x/2$. Phương trình trở thành
Đây là phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x. Nếu hai hệ số bên trái cùng bằng $0$, phải xét hằng số bên phải thay vì chia cho biên độ bằng $0$. Khi giải theo $2x$, chia cả chu kỳ để trả về $x$.
Với phương pháp tan, trước hết xét $\cos x=0$, tức $x=\pi/2+k\pi$. Khi ấy $\sin^2x=1$, nên toàn bộ họ này là nghiệm đúng khi $a=d$. Sau đó trên miền $\cos x\ne0$, chia cho $\cos^2x$, đặt $t=\tan x$, được
Nếu $a=d$, đây chỉ là phương trình bậc nhất, hằng đúng hoặc hằng sai tùy $b,c-d$. Mỗi nghiệm thực hữu hạn $t_0$ cho $x=\arctan t_0+k\pi$. Cuối cùng lấy hợp với họ cos bằng $0$ đã kiểm. Nếu đa thức theo $t$ đồng nhất, phải vẫn xét nhánh cos bằng $0$ để kết luận trên toàn trục số.
3. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Giải bằng hạ bậc và đặt tan
Giải $2\sin^2x+\sin x\cos x+3\cos^2x-2=0$. Hạ bậc rồi nhân $2$ cho $\sin2x+\cos2x+1=0$, tương đương $\sin(2x+\pi/4)=-\sqrt2/2$. Hai nhánh sau khi chia $2$ là
Để kiểm bằng cách tan, với $\cos x=0$ thì vế trái bằng $2-2=0$, nên nhận họ $\pi/2+k\pi$.
Trên miền cos khác $0$, chia cho cos² và sử dụng hệ thức
Phương trình trở thành
Vậy nhánh này cho $x=-\pi/4+k\pi$. Hợp hai nhánh trùng đúng kết quả hạ bậc. Nếu chia ngay từ đầu, họ cos bằng $0$ sẽ bị mất.
Ví dụ 2. Phương trình đồng nhất
Xét $\sin^2x+\cos^2x=1$. Đây là hằng đẳng thức, nên mọi số thực là nghiệm. Cách tan cho đa thức $0=0$ trên miền cos khác $0$; nhánh cos bằng $0$ cũng thỏa. Kết luận toàn bộ $\mathbb R$ cần cả hai miền này.
4. Bài tập tự luyện
- Giải $\sin^2x-\cos^2x=0$.
- Giải $\sin^2x+\sin x\cos x=0$.
- Giải $\sin^2x+\cos^2x=2$.
Mở gợi ý và đáp án
- Cos bằng $0$ không thỏa. Trên miền còn lại, $t^2-1=0$, cho $x=\pi/4+k\pi$ hoặc $x=-\pi/4+k\pi$, gộp $x=\pi/4+k\pi/2$.
- Phân tích $\sin x(\sin x+\cos x)=0$. Nghiệm $x=k\pi$ hoặc $x=-\pi/4+k\pi$.
- Vế trái luôn bằng $1$, nên vô nghiệm. Phương pháp tan cũng cho $-t^2-1=0$ và nhánh cos bằng $0$ không thỏa.
5. Những lỗi cần tránh
Phải chia cho cos² để thu được đa thức bậc hai, không phải chỉ cos. Thử cos bằng $0$ trước phép chia. Không mặc định phương trình theo tan luôn bậc hai. Trong cách hạ bậc, giữ đúng dấu của cos2x và chia cả chu kỳ khi trả về x.
6. Bài học liên quan
- Phương trình lượng giác cơ bản
- Công thức lượng giác
- Phương trình a sin x + b cos x = c
- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình đẳng cấp bậc cao
Để lại một bình luận