Mở rộng lớp 11: đặt ẩn logarit và kiểm cơ số chứa biến
Đặt ẩn logarit để giải phương trình; kiểm tra đồng thời cơ số, đối số và những mẫu số xuất hiện khi đổi ẩn.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Ẩn phụ logarit có thể nhận mọi giá trị thực, nhưng cơ số hoặc mẫu số trong bài có thể loại một số giá trị của ẩn ấy. Vì vậy cần chuyển đầy đủ điều kiện sang ẩn phụ và giữ chúng khi nhân mẫu hay trả về x.
Mục tiêu: đặt ẩn rõ nghĩa; phân biệt logarit của lũy thừa với lũy thừa của logarit; kiểm điều kiện cơ số biến thiên và giải chính xác.
Kiến thức cần biết: đổi cơ số logarit, phương trình bậc hai và lũy thừa số mũ thực.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Chọn ẩn và chuyển điều kiện
Với $a>0$, $a\ne1$, đặt $t=\log_a u(x)$ chỉ sau khi có $u(x)>0$. Nếu $u(x)$ nhận mọi số dương trên miền, $t$ có thể là mọi số thực. Nhưng nếu có $\log_{u(x)}a$, phải có thêm $u(x)\ne1$, tương ứng $t\ne0$.
Phân biệt $[\log_a u]^2$ với $\log_a(u^2)$: biểu thức đầu là bình phương của một số, còn biểu thức sau bằng $2\log_a|u|$ khi $u\ne0$. Viết dấu ngoặc đầy đủ trước khi đặt ẩn để không đổi đề.
2. Đổi cơ số chứa biến về một cơ số cố định
Nếu $t=\log_a x$, thì $x=a^t$. Trái lại, nếu $q=\log_x a$, thì $q=1/t$, không phải $t$. Hai cách đặt khác nhau cho các phương trình đại số khác nhau; không dùng định nghĩa của cách này với công thức trả nghiệm của cách kia.
Với $x>0$, kiểm mọi cơ số khác 1. Chẳng hạn cơ số $4x$ loại $x=1/4$, cơ số $16x$ loại $x=1/16$. Khi chuyển sang $t=\log_4 x$, chúng tương ứng $t=-1,-2$. Chỉ nhân với các mẫu sau khi đã ghi các giá trị cấm.
3. Bốn ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Bình phương của một logarit
Giải $[\log_2((x-1)^2)]^2+\log_2((x-1)^3)=7$. Điều kiện đối số thứ hai dương buộc $x>1$, đồng thời bảo đảm đối số thứ nhất dương. Đặt $t=\log_2(x-1)\in\mathbb R$. Phương trình thành
Nhận $t=1$ hoặc $t=-7/4$. Trả về $x-1=2^t$, được $x=3$ hoặc $x=1+2^{-7/4}$. Cả hai đều lớn hơn 1, nên hợp lệ.
Ví dụ 2. Logarit chứa x ở cả đối số và cơ số
Giải $4\log_9 x+\log_x 3=3$. Miền $x>0$, $x\ne1$. Đặt $t=\log_3 x\ne0$, ta có $\log_9 x=t/2$ và $\log_x3=1/t$. Phương trình $2t+1/t=3$ tương đương $(2t-1)(t-1)=0$. Hai nghiệm $t=1/2,1$ đều khác 0; trả về $x=\sqrt3$ hoặc $x=3$.
Ví dụ 3. Ba cơ số biến thiên khác nhau
Giải $-(4/3)\log_{x^2}4+2\log_{4x}4+\log_{16x}4=0$. Miền là $x>0$, $x\ne1,1/4,1/16$. Đặt $s=\log_4 x$, nên $x=4^s$ và $s\ne0,-1,-2$. Đổi cơ số cho
Thay vào phương trình và nhân $3s(s+1)(s+2)\ne0$:
Vì biệt thức bằng 193, có $s=(-9\pm\sqrt{193})/14$. Không nghiệm nào bằng 0,-1,-2, vì đa thức tại ba số cấm lần lượt bằng $-4,-6,6$. Vậy
Ví dụ 4. Biến nằm ở cơ số và số mũ
Giải $x^{2\log x}=10x^2$, với logarit thập phân. Điều kiện $x>0$. Hai vế dương, lấy logarit cơ số 10 và đặt $t=\log x$ được $2t^2=1+2t$, tức $2t^2-2t-1=0$. Suy ra $t=(1\pm\sqrt3)/2$, rồi trả về
Cả hai nghiệm dương. Tính tương đương của phép logarit hóa trên miền ấy bảo đảm không nhận nghiệm ngoại lai. Trong logarit của vế phải, $\log(10x^2)=1+2\log x$, không phải $1+3\log x$.
4. Bài tập tự luyện
- Giải $[\log_2 x]^2-3\log_2 x+2=0$.
- Giải $\log_x4=2$.
- Giải $\log_2(x-1)+1/\log_2(x-1)=2$.
Mở gợi ý và đáp án
- Miền $x>0$. Đặt $t=\log_2 x$, nhận $t=1,2$, nên $x=2,4$.
- Miền $x>0,x\ne1$. Phương trình tương đương $x^2=4$; chỉ nhận $x=2$, không nhận $-2$ làm cơ số.
- Cần $x>1,x\ne2$. Đặt $t=\log_2(x-1)\ne0$, được $(t-1)^2=0$. Trả về $x=3$, thỏa điều kiện.
5. Những lỗi cần tránh
Không lẫn hai ẩn phụ nghịch đảo. Không bỏ các giá trị làm một cơ số bằng 1. Trước khi nhân mẫu theo ẩn phụ, ghi đủ các giá trị bị loại. Giải đúng đa thức rồi mới trả về x; ký hiệu log² luôn cần dấu ngoặc rõ nghĩa.
Để lại một bình luận