Phương trình mũ và bất đẳng thức Bernoulli: dấu so với dây cung

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Đồ thị hàm mũ nằm dưới dây cung nối hai điểm tại 0 và 1, và nằm trên phần kéo dài dây cung ở ngoài đoạn ấy. Quan hệ dấu này xác định chính xác nghiệm của nhiều phương trình mũ với vế phải là một đường thẳng.

Mục tiêu: dùng bất đẳng thức Bernoulli đúng khoảng; chứng minh không còn nghiệm ngoài hai điểm đã biết; ghép các biểu thức cùng dấu.

Kiến thức cần biết: hàm số mũ, đạo hàm cấp hai và tính lồi nghiêm ngặt.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Phát biểu và các điểm biên

Với $a>0$, $a\ne1$, đặt $L(x)=1+(a-1)x$. Đây là đường thẳng qua $(0;1)$ và $(1;a)$. Bất đẳng thức Bernoulli dạng số mũ thực là

Có thể gộp dấu không nghiêm ngặt ở các khoảng đóng tương ứng, nhưng dấu nhỏ hơn không đúng tại hai đầu 0,1. Khi $a=1$, hàm mũ và đường thẳng đều là 1, nên mọi $x$ đạt dấu bằng; giả thiết $a\ne1$ cần cho kết luận chỉ có hai điểm bằng.

2. Vì sao bất đẳng thức đúng?

Hàm $f(x)=a^x$ có $f^{\prime\prime}(x)=a^x(\ln a)^2>0$, nên lồi nghiêm ngặt. Vì thế trên $0<x<1$, giá trị của hàm nhỏ hơn tổ hợp $(1-x)f(0)+xf(1)=L(x)$. Đây là tính chất của dây cung đối với hàm lồi nghiêm ngặt.

Với $x<0$, viết $0=\lambda x+(1-\lambda)1$, trong đó $\lambda=1/(1-x)\in(0;1)$. Tính lồi nghiêm ngặt cho $1<\lambda a^x+(1-\lambda)a$; giải bất đẳng thức theo $a^x$ được $a^x>L(x)$. Với $x>1$, viết $1=(1-1/x)0+(1/x)x$ rồi lập luận tương tự. Hai điểm 0,1 đạt bằng theo cách xác định $L$.

Các lập luận này áp dụng cả khi $0<a<1$, vì đạo hàm cấp hai vẫn dương. Để dùng trong phương trình, chuyển mỗi cặp $a^x-L(x)$ về một biểu thức. Nếu nhiều biểu thức như vậy có cùng dấu trên từng miền, tổng của chúng không thể bằng 0 ngoài các điểm cùng đạt bằng.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Đường thẳng qua hai điểm của 5 ˣ

Giải $5^x-4x-1=0$. Với $a=5$, ta có $L(x)=4x+1$. Hiệu $5^x-L(x)$ dương khi $x<0$ hoặc $x>1$, âm khi $0<x<1$, và bằng 0 tại 0,1. Vì vậy phương trình có đúng hai nghiệm $x=0,x=1$.

Ví dụ 2. Hai hiệu có cùng dấu

Giải $3^x+4^x=5x+2$. Chuyển vế thành $(3^x-2x-1)+(4^x-3x-1)=0$. Mỗi hạng là một hiệu Bernoulli. Ngoài $[0;1]$, cả hai dương; trong $(0;1)$, cả hai âm. Tổng chỉ bằng 0 tại hai đầu, khi cả hai cùng bằng 0. Vậy nghiệm là 0 và 1.

Lập luận không dựa trên việc các số hạng luôn không âm: chúng âm trên khoảng giữa. Điều quyết định là chúng có cùng dấu tại mỗi $x$ và chỉ đồng thời bằng 0 ở hai điểm đã nêu.

Ví dụ 3. Cơ số nằm giữa 0 và 1

Giải $(1/2)^x=1-x/2$. Với $a=1/2$, vế phải chính là $L(x)$. Dấu so với dây cung giữ nguyên quy tắc Bernoulli, nên nghiệm vẫn là 0 và 1. Khi vế phải không dương, cũng có thể loại trực tiếp vì vế trái luôn dương.

4. Bài tập tự luyện

1. Giải $2^x=x+1$.
2. Giải $2^x+5^x=5x+2$.
3. Với $a=1$, phương trình $a^x=1+(a-1)x$ có bao nhiêu nghiệm?

5. Những lỗi cần tránh

Không viết dấu nhỏ hơn trên đoạn đóng [0;1]. Không bỏ ngoại lệ cơ số 1. Khi ghép bất đẳng thức, kiểm các hiệu thực sự cùng dấu tại cùng một x; hai biểu thức trái dấu có thể triệt tiêu mà không cùng bằng 0.

6. Bài học liên quan

• Hàm số mũ
• Đạo hàm của hàm mũ và logarit
• Phương trình mũ - Dùng đặc trưng hàm số
• Phương trình mũ - Phương pháp đưa về cùng cơ số

7. Tài liệu đi kèm bài gốc

• Tài liệu bài tập Scribd trong bài gốc 1
• Liên kết ghi danh trong bài gốc