Mở rộng lớp 11: phương trình mũ bằng ẩn phụ và miền giá trị
Đặt ẩn phụ phù hợp cho phương trình mũ; kiểm tra miền của ẩn mới và điều kiện mẫu trước khi tìm lại nghiệm x.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Ẩn phụ phù hợp gom nhiều lũy thừa thành một phương trình đại số. Nghiệm đại số cần được lọc theo tập giá trị của ẩn phụ, rồi mới trả về biến ban đầu và đối chiếu mọi điều kiện của phương trình.
Mục tiêu: chọn ẩn phụ theo quan hệ giữa các cơ số; kiểm điều kiện dương, mẫu khác 0 và miền trả nghiệm; giải một ví dụ có số mũ bình phương.
Kiến thức cần biết: phương trình bậc hai, lũy thừa thực, logarit và giá trị của hàm mũ.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Tập giá trị của ẩn phụ
Với $a>0$, $a\ne1$ và $x$ chạy trên $\mathbb R$, đặt $t=a^x$ thì $t>0$ và mọi giá trị dương đều đạt được đúng một lần. Vì thế loại $t\le0$, còn mỗi nghiệm $t_0>0$ cho $x=\log_a t_0$.
Nếu đặt $t=a^{u(x)}$, điều kiện $t>0$ có thể chưa đủ. Chẳng hạn với $a>1$ và $u(x)=(x-1)^2\ge0$, phải có $t\ge1$. Khi trả về, giải $(x-1)^2=\log_a t_0$ và kiểm vế phải không âm.
2. Nhận dạng trước khi đặt ẩn
Các cặp $a^{2x},a^x$ gợi ý đặt $t=a^x$. Khi gặp $4^x,6^x,9^x$, chia cho $9^x>0$ tạo ra $(2/3)^{2x},(2/3)^x$. Với cơ số liên hợp nghịch đảo, chuyển về một cơ số trước rồi đặt ẩn.
Nếu phương trình có mẫu, giữ điều kiện sau khi đặt ẩn; không nhân mẫu rồi nhận lại giá trị làm mẫu bằng 0. Nếu còn cả $x$ lẫn $t$, chỉ mới đổi ký hiệu, chưa tự động thành phương trình một ẩn. Sau khi tìm các nghiệm, thử theo quan hệ đặt ẩn và phương trình gốc.
3. Bốn ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Một đa thức theo 2 ˣ
Giải $4^x-4\cdot2^x+3=0$. Đặt $t=2^x>0$, được $(t-1)(t-3)=0$. Cả hai nghiệm 1 và 3 đều hợp lệ. Từ đó $x=0$ hoặc $x=\log_2 3$.
Ví dụ 2. Giữ điều kiện của mẫu
Giải $(8^x+2^x)/(4^x-2^x)=5$. Mẫu bằng $2^x(2^x-1)$ nên cần $x\ne0$. Đặt $t=2^x>0$, $t\ne1$. Chia tử và mẫu cho $2^x>0$, phương trình trở thành
Nhận $t=2,3$ vì đều khác 1. Vậy $x=1$ hoặc $x=\log_2 3$; cả hai khác 0. Thay $t=2$ hoặc 3 vào phân thức đều được 5.
Ví dụ 3. Ba cơ số có quan hệ bình phương
Giải $3\cdot4^x-5\cdot6^x+2\cdot9^x=0$. Chia cho $9^x>0$, đặt $t=(2/3)^x>0$, được $3t^2-5t+2=(3t-2)(t-1)=0$. Nhận $t=1$ hoặc $t=2/3$, lần lượt cho $x=0$ và $x=1$.
Ví dụ 4. Số mũ là một bình phương
Giải $(2+\sqrt3)^{(x-1)^2}+(2-\sqrt3)^{x^2-2x-1}=4/(2-\sqrt3)$. Đặt $B=2+\sqrt3>1$. Vì $2-\sqrt3=1/B$ và $x^2-2x-1=(x-1)^2-2$, đặt $t=B^{(x-1)^2}\ge1$ đưa phương trình về
Ta có $B^2=7+4\sqrt3$ và $B^2+1=4B$, nên đa thức bằng $(t-1)(t-B^2)$. Hai nghiệm 1 và $B^2$ đều thuộc miền $t\ge1$. Với $t=1$, tính đơn ánh cho $(x-1)^2=0$, nên $x=1$. Với $t=B^2$, có $(x-1)^2=2$, nên $x=1\pm\sqrt2$. Vậy nghiệm là $1-\sqrt2,1,1+\sqrt2$.
4. Bài tập tự luyện
- Giải $9^x-4\cdot3^x-5=0$.
- Giải $2^x+2^{-x}=2$.
- Giải $2^{x^2}=1/2$.
Mở gợi ý và đáp án
- Đặt $t=3^x>0$: $(t-5)(t+1)=0$. Loại $-1$, nhận 5, nên $x=\log_3 5$.
- Đặt $t=2^x>0$, được $t+1/t=2$, tương đương $(t-1)^2=0$. Suy ra $x=0$.
- Vì $x^2\ge0$, vế trái ít nhất 1, nên vô nghiệm. Nếu đặt ẩn, phải giữ $t=2^{x^2}\ge1$ để loại 1/2.
5. Những lỗi cần tránh
Không chỉ ghi t>0 khi miền thực tế hẹp hơn. Không nhận nghiệm t không thỏa điều kiện mẫu. Sau khi trả về x, phải giải hết phương trình của số mũ; một giá trị t có thể cho nhiều giá trị x.
Để lại một bình luận