Mở rộng lớp 11: phương trình mũ bằng đơn điệu và Rolle
Dùng đạo hàm và tính đơn điệu để giới hạn số nghiệm phương trình mũ; xây dựng hàm phụ và chứng minh các nghiệm đã tìm là đầy đủ.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Tìm được một nghiệm chưa chứng minh đã tìm hết. Tính đơn điệu hoặc định lý Rolle cung cấp một cận cho số nghiệm; khi số nghiệm đã kiểm đạt đúng cận ấy, lời giải mới hoàn chỉnh.
Mục tiêu: chứng minh tính duy nhất hoặc không quá hai nghiệm; kiểm giả thiết của Rolle; phân tích nhân tử trước khi khảo sát.
Kiến thức cần biết: đạo hàm hàm mũ, dấu đạo hàm, tính đơn điệu và định lý Rolle.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Điều kiện đúng của tính đơn điệu
Cho $f$ khả vi trên một khoảng $I$. Nếu $f^{\prime}>0$ trên $I$, hàm tăng nghiêm ngặt; nếu $f^{\prime}<0$, hàm giảm nghiêm ngặt. Do đó phương trình $f(x)=0$ có nhiều nhất một nghiệm. Để kết luận một nghiệm cụ thể là duy nhất, vẫn phải thay vào kiểm nó là nghiệm.
Điều kiện $f^{\prime}\ge0$ chỉ tự động cho hàm không giảm, có thể có đoạn hằng. Nếu thêm đạo hàm bằng 0 chỉ tại hữu hạn điểm thì đủ cho tăng nghiêm ngặt, nhưng đây không phải điều kiện cần tổng quát. Tương tự với $f^{\prime}\le0$. Không viết mọi điều kiện đủ này thành một mệnh đề “khi và chỉ khi”.
Nếu một hàm tăng nghiêm ngặt còn hàm kia giảm nghiêm ngặt trên cùng khoảng, hai đồ thị cắt nhau nhiều nhất một điểm: với $x_1<x_2$, hiệu hai hàm tăng nghiêm ngặt. Không suy ra điều này chỉ từ việc cả hai đều đồng biến.
2. Đếm nghiệm bằng Rolle
Giả sử $f$ có đạo hàm đến cấp $k$ trên khoảng $I$, với $k\ge1$ nguyên. Nếu $f^{(k)}$ không bằng 0 ở đâu trên $I$, thì $f$ có nhiều nhất $k$ nghiệm phân biệt trong $I$. Thật vậy, nếu có $k+1$ nghiệm theo thứ tự, áp dụng Rolle giữa từng cặp rồi lặp $k$ lần sẽ tạo ra một điểm có đạo hàm cấp $k$ bằng 0, mâu thuẫn.
Mỗi đoạn nối hai nghiệm nằm trong $I$; tính khả vi bảo đảm liên tục cần cho lần áp dụng đầu, và các cấp đạo hàm có tính liên tục tại điểm khi chúng còn khả vi ở bước tiếp theo. Vì vậy lập luận dùng được cả trên khoảng không bị chặn bằng cách chọn hữu hạn nghiệm, không cần giả thiết tại vô cực.
Nếu chỉ biết $f^{\prime}$ có nhiều nhất một nghiệm, Rolle cũng cho $f$ nhiều nhất hai nghiệm. Phương pháp này giới hạn số nghiệm, không tự tìm vị trí nghiệm. Khi không nhận ra nghiệm chính xác, phải dùng thêm một cách giải hoặc phép xấp xỉ có kiểm soát.
3. Bốn ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Chia cho cơ số lớn nhất
Giải $3^x+4^x=5^x$. Chia cho $5^x>0$, đặt $f(x)=(3/5)^x+(4/5)^x-1$. Vì hai cơ số nằm giữa 0 và 1, có
Vậy $f$ giảm nghiêm ngặt và có nhiều nhất một nghiệm. Tại $x=2$, hai vế của phương trình gốc bằng 25, nên đây là nghiệm duy nhất. Cũng có thể áp dụng Rolle với $k=1$, vì đạo hàm không có nghiệm.
Ví dụ 2. Nhân tử và một phương trình tăng
Giải $9^x+2(x-3)3^x-2x+5=0$. Nhóm các hạng cho $(3^x-1)(3^x+2x-5)=0$. Nhánh $3^x=1$ cho $x=0$. Với $h(x)=3^x+2x-5$, có $h^{\prime}(x)=3^x\ln3+2>0$ trên $\mathbb R$. Vì $h(1)=0$, nhánh này chỉ có nghiệm 1. Tập nghiệm là $\{0;1\}$.
Cách khác, đặt $t=3^x$ cho đa thức $t^2+2(x-3)t-2x+5=(t-1)(t+2x-5)$; nó dẫn đến đúng hai nhánh trên. Với nhánh sau, cũng có thể so sánh $3^x$ tăng và $5-2x$ giảm, nhận duy nhất giao điểm $x=1$.
Ví dụ 3. Đạo hàm cấp hai không có nghiệm
Giải $3^x+5^x=6x+2$. Đặt $F(x)=3^x+5^x-6x-2$. Khi đó
Theo Rolle, $F$ có nhiều nhất hai nghiệm phân biệt. Kiểm $F(0)=0$ và $F(1)=0$, nên phương trình có đúng hai nghiệm 0 và 1. Hằng số trong $F$ là $-2$, để $F=0$ tương đương đúng phương trình gốc.
Ví dụ 4. Đếm nghiệm của đạo hàm trước
Giải $6^x+2^x=5^x+3^x$. Chia cho $6^x>0$, đặt $f(x)=(5/6)^x+(1/2)^x-(1/3)^x-1$. Phương trình tương đương $f(x)=0$; kiểm được $f(0)=f(1)=0$.
Điều kiện $f^{\prime}(x)=0$ tương đương $(5/6)^x\ln(6/5)+(1/2)^x\ln2=(1/3)^x\ln3$. Chia cho $(1/3)^x\ln3>0$, được
Hai cơ số 5/2,3/2 lớn hơn 1 và hai hệ số logarit đều dương, nên $G$ tăng nghiêm ngặt. Vì thế $f^{\prime}$ có nhiều nhất một nghiệm; Rolle suy ra $f$ có nhiều nhất hai nghiệm. Hai nghiệm 0,1 đã kiểm là toàn bộ đáp án. Phải dùng cơ số 3/2 ở hạng thứ hai sau phép chia.
4. Bài tập tự luyện
- Giải $2^x=3-x$.
- Chứng minh $2^x+3^x=3x+2$ có đúng hai nghiệm 0 và 1.
- Hai hàm cùng đồng biến trên một khoảng có nhất thiết cắt nhau nhiều nhất một điểm không?
Mở gợi ý và đáp án
- Đặt $f(x)=2^x+x-3$, có $f^{\prime}=2^x\ln2+1>0$ và $f(1)=0$. Nghiệm duy nhất 1.
- Chuyển về $f=2^x+3^x-3x-2$, có $f^{\prime\prime}>0$ nên không quá hai nghiệm; thay 0,1 đều đúng.
- Không. Chẳng hạn $f(x)=x$, $g(x)=x+(1/2)\sin x$ đều tăng trên $\mathbb R$ vì $g^{\prime}\ge1/2>0$, nhưng giao nhau tại mọi $x=k\pi$.
5. Những lỗi cần tránh
Không dừng ở việc thử nghiệm mà chưa chứng minh tìm hết. Không nhầm dấu đạo hàm với chiều biến thiên. Giữ đúng hàm phụ sau chuyển vế; kiểm cơ số và dấu hệ số sau khi chia. Rolle cần một khoảng thích hợp nằm trong miền xác định.
Để lại một bình luận