Phương trình logarit lớp 11: cùng cơ số và miền đối số

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Chỉ khi hai logarit có cùng cơ số hợp lệ mới có thể so sánh trực tiếp các đối số từ đẳng thức. Trước khi gộp tích hay bỏ logarit, phải giữ điều kiện dương của từng đối số trong phương trình gốc.

Mục tiêu: đưa phương trình về cùng cơ số; lọc nghiệm đại số; giữ đủ hai nhánh của giá trị tuyệt đối.

Kiến thức cần biết: định nghĩa logarit, quy tắc tích–thương và phương trình bậc hai.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Đẳng thức logarit cùng cơ số

Với $a>0$, $a\ne1$, và $u(x),v(x)>0$, ta có

Đẳng thức đúng do tính đơn ánh của logarit, kể cả cơ số nằm giữa 0 và 1. Nếu hai cơ số khác nhau, không được bỏ logarit trực tiếp. Chẳng hạn $\log_2 2=\log_3 3=1$, nhưng hai đối số 2 và 3 khác nhau.

Nếu cơ số còn chứa $x$, trước hết cần nó dương và khác 1. Công thức trên chỉ áp dụng tại những giá trị mà hai vế đều xác định và có cùng cơ số tại giá trị ấy.

2. Gộp đúng và lọc nghiệm

Ghi điều kiện của từng logarit; viết các hằng số thành logarit cùng cơ số; gộp tích hoặc thương bằng quy tắc đã biết; giải phương trình đối số; cuối cùng đối chiếu miền gốc. Một đối số tích dương có thể do cả hai thừa số âm, nhưng điều đó không làm hai logarit ban đầu xác định.

Với logarit thập phân, ký hiệu $\log$ nghĩa là cơ số 10. Đặc biệt $(1/2)\log(x^2)=\log|x|$ khi $x\ne0$, không mặc định bằng $\log x$. Nếu miền cho phép số âm, cần tách dấu của $x$ ở bước trả phương trình đại số.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tổng hai logarit

Giải $\log_3 x+\log_3(x+2)=1$. Điều kiện là $x>0$ và $x+2>0$, tương đương $x>0$. Trên miền này, phương trình tương đương

Phân tích $(x-1)(x+3)=0$ cho $x=1$ hoặc $x=-3$. Chỉ nhận 1 vì miền $x>0$. Kiểm lại: $\log_3 1+\log_3 3=0+1=1$. Số 3 không phải nghiệm của đề này, vì tích $3(3+2)=15$ khác 3.

Ví dụ 2. Một logarit của x²

Giải $\log(x+10)+(1/2)\log(x^2)=2-\log4$. Miền là $x>-10$, $x\ne0$. Dùng giá trị tuyệt đối và viết $2=\log100$, được

Với $x>0$, phương trình là $x^2+10x-25=0$, cho $x=-5\pm5\sqrt2$. Chỉ nhận $-5+5\sqrt2>0$. Với $-10<x<0$, có $|x|=-x$, nên $x^2+10x+25=(x+5)^2=0$, nhận $x=-5$.

Vậy nghiệm là $x=-5$ và $x=-5+5\sqrt2$. Cả hai làm $(x+10)|x|=25$ và thuộc miền gốc. Việc thay log(x²) bằng 2 log x ngay từ đầu sẽ bỏ mất nghiệm âm $-5$.

Ví dụ 3. Cơ số nhỏ hơn 1

Giải $\log_{1/2}(x+1)=\log_{1/2}(3-x)$. Miền $-1<x<3$. Cùng cơ số nên $x+1=3-x$, cho $x=1$, thỏa miền. Đây là một đẳng thức, nên không có việc đảo chiều như khi so sánh bất đẳng thức.

4. Bài tập tự luyện

1. Giải $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$.
2. Giải $\log_3(x^2)=2$.
3. Giải $\log_{1/2}(x+2)=\log_{1/2}(4-x)$.

5. Những lỗi cần tránh

Không bỏ logarit khi hai cơ số khác nhau. Không thay miền của tổng logarit bằng miền của logarit tích. Giữ giá trị tuyệt đối trong log(x²), và kiểm nghiệm đại số trước khi kết luận.

7. Video và tài liệu tham khảo

• Tài liệu bài tập Scribd 1
• Liên kết ghi danh