Mở rộng lớp 11: logarit hóa phương trình mũ đúng điều kiện
Lấy logarit hai vế dương để giải phương trình mũ; chọn cơ số thuận tiện, xử lý phân thức và kiểm tra lại nghiệm.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Khi nhiều cơ số khó ghép thành một cơ số, logarit biến các số mũ thành hệ số. Phép lấy logarit tương đương chỉ khi hai vế đều dương và dùng cùng một cơ số hợp lệ.
Mục tiêu: dùng logarit để giải phương trình nhiều cơ số; giữ điều kiện của số mũ; phân tích đại số chính xác và kiểm nghiệm.
Kiến thức cần biết: định nghĩa, quy tắc logarit và phương trình bậc hai.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Khi nào lấy logarit được?
Với $b>0$, $b\ne1$, và $U(x),V(x)>0$, tính đơn ánh của logarit cho $U=V$ tương đương $\log_b U=\log_b V$. Điều này đúng cả khi $0<b<1$, vì tính đơn ánh vẫn giữ dù hàm nghịch biến.
Các lũy thừa có cơ số dương luôn dương trên miền số mũ xác định. Nhưng nếu phương trình có hiệu hay một vế đa thức, cần kiểm dấu trước. Chẳng hạn $2^x=-3$ vô nghiệm do trái dương, phải âm; không viết $\log_2(-3)$.
2. Chọn cơ số và xử lý số mũ
Chọn một cơ số sẵn có hoặc dùng ln. Với $a,c>0$, đẳng thức $a^{u(x)}=c^{v(x)}$ chuyển thành $u(x)\ln a=v(x)\ln c$. Không tự tách logarit của một tổng thành tổng logarit. Với tích các lũy thừa dương, quy tắc tích mới cho phép đưa về tổng.
Nếu số mũ chứa phân thức, ghi các giá trị làm mẫu bằng 0 trước khi lấy logarit. Khi nhân mẫu để giải, giữ các giá trị cấm đến cuối. Nếu phương trình sau logarit có nhân tử chứa $x$, giải dạng tích thay vì chia cho $x$ làm mất nghiệm 0.
Các hệ số logarit có thể được rút gọn trước khi tính biệt thức. Dùng một ký hiệu tạm cho giá trị cố định như $L=\log_3 2$ giúp thấy nhân tử, nhưng phải trả lời cuối cùng bằng giá trị đã định nghĩa.
3. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Số mũ bậc hai
Giải $2^{x^2}=3^x$ trên $\mathbb R$. Hai vế dương, lấy logarit cơ số 2 được $x^2=x\log_2 3$. Chuyển vế, $x(x-\log_2 3)=0$, nên $x=0$ hoặc $x=\log_2 3$. Không chia cho $x$, vì 0 là nghiệm thật: hai vế đều bằng 1.
Ví dụ 2. Số mũ có mẫu chứa x
Giải $3^x8^{x/(x+2)}=6$. Điều kiện $x\ne-2$; trên miền ấy hai vế dương. Đặt $L=\log_3 2>0$. Logarit hóa theo cơ số 3 cho
Nhân với mẫu khác 0 rồi chuyển vế:
Vậy $x=1$ hoặc $x=-2-2L=-2-2\log_3 2$. Nghiệm thứ hai nhỏ hơn $-2$ vì $L>0$, nên cả hai không bị điều kiện loại. Các bước trước tương đương trên miền này, bảo đảm chúng thỏa phương trình gốc. Kiểm $x=1$ cho $3\cdot8^{1/3}=6$; nghiệm kia được xác nhận bằng quan hệ logarit vừa giải.
Ví dụ 3. Vế phải không dương
Phương trình $5^{2x-1}=0$ vô nghiệm vì lũy thừa dương không bằng 0. Không có phép lấy logarit của 0 để giải phương trình này. Nếu vế phải là một tham số $c$, chỉ nhánh $c>0$ mới cho $2x-1=\log_5 c$.
4. Bài tập tự luyện
- Giải $2^x=5^{x-1}$.
- Giải $2^{x^2}=4^x$.
- Giải $3^{1/(x-1)}=9$.
Mở gợi ý và đáp án
- Lấy ln được $x\ln2=(x-1)\ln5$, nên $x=\ln5/(\ln5-\ln2)=\ln5/\ln(5/2)$. Mẫu khác 0 vì 5/2 khác 1.
- Cùng cơ số cho $x^2=2x$, nên $x=0$ hoặc 2.
- Cần $x\ne1$. Sau lấy logarit cơ số 3, có $1/(x-1)=2$, nên $x=3/2$, thỏa điều kiện.
5. Những lỗi cần tránh
Không tách logarit của tổng. Không lấy logarit vế không dương. Không đổi lẫn cơ số trong cùng phép tính. Sau khi nhân mẫu chứa x, loại đúng các giá trị cấm; không bỏ nghiệm 0 do chia cho x.
Để lại một bình luận