Phương trình mũ: đưa về cùng cơ số và giữ đủ nghiệm

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Hai lũy thừa cùng cơ số dương khác 1 bằng nhau đúng khi các số mũ bằng nhau. Trước khi dùng điều này, cần đưa đúng về cùng cơ số; nếu phương trình có dạng tích, phải giữ tất cả các nhánh làm tích bằng 0.

Mục tiêu: nhận dạng cơ số chung, dùng số nghịch đảo liên hợp và phân tích nhân tử; kiểm điều kiện trước khi chia.

Kiến thức cần biết: lũy thừa thực, logarit và phương trình đại số.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Tính đơn ánh của hàm số mũ

Với $a>0$, $a\ne1$, và các biểu thức $u(x),v(x)$ nhận giá trị thực trên miền đang xét, ta có

Quan hệ đúng vì $a^t$ đơn điệu nghiêm ngặt: tăng khi $a>1$, giảm khi $0<a<1$. Với phương trình bằng nhau, cả hai loại đều cho cùng kết luận về số mũ. Nếu $a=1$, hai vế luôn bằng 1, nên không thể suy ra $u=v$.

Các lũy thừa cơ số dương luôn khác 0. Vì vậy có thể chia cho $a^{u(x)}$ trên miền mà số mũ xác định. Nếu cơ số hoặc số mũ còn chứa biến trong mẫu hay căn, phải xác định miền trước.

2. Các phép đưa về cơ số chung

Dùng $(ab)^x=a^xb^x$, $a^{x+c}=a^c a^x$, hoặc $(a/b)^x=a^x/b^x$ với cơ số dương. Khi hai cơ số là nghịch đảo, chuyển một cơ số thành số mũ đối. Nếu chỉ có $a^u=c$, cần $c>0$, rồi viết $c=a^{\log_a c}$.

Không phải mọi tổng hai lũy thừa ghép được thành một lũy thừa: $a^x+b^x$ nói chung khác $(a+b)^x$. Với phương trình chứa cả đa thức và hàm mũ, chuyển vế để tìm nhân tử chung. Nếu được $P(x)Q(x)=0$, lấy hợp hai phương trình $P=0$ hoặc $Q=0$, không chia bỏ một nhân tử chưa kiểm.

3. Năm nhóm ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Ba phương trình cùng cơ số

(a) $3^x2^x-6=0$ tương đương $6^x=6^1$, nên $x=1$. (b) $2^x-3=0$ cho $x=\log_2 3$, vì 3 dương. (c) $2^x3^x=36=6^2$ cho $x=2$. Các biểu thức đều xác định trên $\mathbb R$.

Ví dụ 2. Nhóm các số mũ chênh nhau một hằng số

Giải $2^{x+1}+2^x-3=0$. Viết $2^{x+1}=2\cdot2^x$, được $3\cdot2^x=3$, nên $2^x=1=2^0$ và $x=0$. Thay lại cho $2+1-3=0$.

Ví dụ 3. Hai cơ số khác nhau nhưng cùng số mũ

Giải $3^{x+1}-2^{x+1}=0$. Chia cho $2^{x+1}>0$, được $(3/2)^{x+1}=1=(3/2)^0$. Vì cơ số 3/2 khác 1, suy ra $x+1=0$, tức $x=-1$.

Ví dụ 4. Hai cơ số liên hợp nghịch đảo

Giải $(\sqrt2-1)^x=(\sqrt2+1)^x$. Hai cơ số dương, và $(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=1$. Đặt $a=\sqrt2-1\in(0;1)$, phương trình thành $a^x=a^{-x}$. Tính đơn ánh cho $x=-x$, nên $x=0$. Việc nhân liên hợp xác định quan hệ nghịch đảo giữa hai cơ số.

Ví dụ 5. Kết hợp đa thức với hàm mũ

Giải $4x^2+x3^x+3^{x+1}=2x^2 3^x+2x+6$. Đưa các hạng về một vế rồi nhóm theo $3^x$:

Đa thức phân tích thành $(2x-3)(x+1)$, nên hai nghiệm của nhánh đầu là $3/2$ và $-1$. Nhánh sau $3^x=2$ cho $x=\log_3 2$. Vậy tập nghiệm là $\{-1;3/2;\log_3 2\}$. Từng nhánh làm một nhân tử bằng 0, nên cả ba đều thỏa phương trình gốc.

4. Bài tập tự luyện

1. Giải $4^{x-1}=2^{x+2}$.
2. Giải $(1/3)^{2x-1}=3$.
3. Giải $(x-2)(2^x-4)=0$.

5. Những lỗi cần tránh

Không so sánh số mũ khi hai cơ số chưa giống nhau. Không dùng tính đơn ánh cho cơ số 1. Không cộng cơ số để ghép một tổng. Không chia mất nghiệm của nhân tử đa thức; cuối cùng gộp các nghiệm trùng.

6. Bài học liên quan

• Luỹ thừa
• Logarit
• Hàm số mũ
• Phương trình mũ - Phương pháp ẩn phụ
• Phương trình mũ - Phương pháp logarit hoá

7. Video và tài liệu tham khảo

• Tài liệu bài tập Scribd 1
• Liên kết ghi danh