Thiết diện song song với hai đường: dựng và kiểm tra

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Mặt phẳng cắt song song với một đường cho biết phương của giao tuyến trên những mặt chứa đường ấy. Để có thiết diện, vẫn phải lần lượt xác định các đoạn nằm trong từng mặt của khối chóp.

Trong bài: Kiến thức · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Tiêu chuẩn xác định phương giao tuyến

Trong $(\beta)$, đường $d^{\prime}$ không thể cắt $d$, vì điểm cắt sẽ thuộc cả $d$ và $(\alpha)$, trái với $(\alpha)\parallel d$. Hai đường cùng một mặt phẳng, không giao nhau nên song song. Phải giả sử hai mặt phẳng cắt nhau; nếu chúng song song thì không có giao tuyến $d^{\prime}$.

2. Dựng theo các mặt của hình chóp

Từ điểm đã biết, chọn một mặt có chứa phương song song để dựng giao tuyến đầu. Tìm nơi nó gặp cạnh tiếp theo, rồi chuyển sang mặt kề. Chỉ lấy đoạn nằm trong tam giác hoặc đa giác của mặt, không lấy toàn bộ đường kéo dài làm cạnh thiết diện. Cuối cùng kiểm tra các đoạn khép kín và không bỏ mặt nào bị cắt.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Mặt phẳng qua cạnh bên và song song hai phương

Cho hình chóp không suy biến $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành theo thứ tự đỉnh. Lấy $M$ trong cạnh $SA$, tức là $t=SM/SA\in(0,1)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với $SC,AD$. Tìm thiết diện.

Hai phương $SC,AD$ không cùng phương: $AD$ nằm trong đáy, còn $SC$ không song song với đáy vì đi qua $S$ ngoài đáy và $C$ trong đáy. Chúng xác định duy nhất phương của $(\alpha)$. Vì $AD\parallel BC$, mặt phẳng này có cùng hai phương độc lập với mặt $(SBC)$. Điểm $M$ không thuộc $(SBC)$, bởi đường $SA$ chỉ gặp mặt ấy tại $S$. Do đó $(\alpha)\parallel(SBC)$.

1. Trong tam giác $SAD$, qua $M$ dựng $MN\parallel AD$, với $N\in SD$. Thales cho $SN/SD=t$, nên $N$ nằm trong $SD$.
2. Trong tam giác $SDC$, qua $N$ dựng $NP\parallel SC$, với $P\in DC$. Ta có $DP/DC=DN/DS=1-t$, nên $P$ nằm trong $DC$.
3. Trong đáy, qua $P$ dựng $PQ\parallel AD$, với $Q\in AB$. Vì đáy là hình bình hành, $AQ/AB=DP/DC=1-t$; do đó $Q$ nằm trong $AB$.
4. Trong mặt $SAB$, hai điểm $M,Q$ thuộc $(\alpha)$; nối $MQ$ để khép thiết diện.

Bốn cạnh $MN,NP,PQ,QM$ lần lượt nằm trong các mặt $SAD,SDC,ABCD,SAB$. Mặt $(SBC)$ song song với $(\alpha)$ nên không bị cắt. Vậy thiết diện là tứ giác $MNPQ$. Hai cạnh $MN,PQ$ cùng song song với $AD$, nên thiết diện là một hình thang.

Có thể kiểm tra cạnh cuối: $AM/AS=AQ/AB=1-t$, nên trong tam giác $ASB$, ta có $MQ\parallel SB$. Các tỉ số độ dài là

Ví dụ 2. Khi điểm cho trước là trung điểm

Nếu $M$ là trung điểm $SA$, thì $t=1/2$. Khi đó $N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $SD,DC,AB$. Ta có $MN=AD/2$, $PQ=AD$, $NP=SC/2$, $MQ=SB/2$. Đây là vị trí minh họa trong hình, không phải giả thiết bắt buộc của ví dụ 1.

4. Bài tập tự luyện

1. Trong ví dụ 1, nếu $SM/SA=1/3$, hãy tính $SN/SD$, $DP/DC$, $AQ/AB$.
2. Với cùng vị trí, tính $MN/PQ$ và $NP/SC$.
3. Nếu mở rộng cách dựng theo cùng hai phương đến $M=S$ hoặc $M=A$, thiết diện còn là tứ giác không?

5. Những lỗi cần tránh

• Tự khẳng định hai mặt phẳng có giao tuyến khi chúng có thể song song.
• Vẽ giao điểm trên cạnh chỉ theo hình; cần Thales với $0<t<1$ để bảo đảm vị trí.
• Gọi một đường kéo dài ngoài mặt là cạnh thiết diện.
• Bỏ cạnh khép kín hoặc áp dụng tứ giác cho vị trí đầu mút suy biến.

6. Bài học liên quan và tài liệu

• Đường thẳng song song với mặt phẳng
• Giao tuyến dùng quan hệ song song
• Thiết diện song song với một mặt phẳng

Mở tài liệu bài tập gốc trên Scribd. Phần tự luyện trong bài có thể sử dụng ngay.

Các hình của tài liệu cũ để đối chiếu: Hình 1 · Hình 2.