Đường thẳng song song mặt phẳng lớp 11: điều kiện, chứng minh

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Một đường thẳng song song với một đường nằm trong mặt phẳng vẫn có thể nằm ngay trong mặt phẳng ấy. Vì thế tiêu chuẩn song song phải kiểm tra cả phương lẫn vị trí.

Trong bài: Kiến thức · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Định nghĩa và điều kiện cần giữ

Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$, ký hiệu $d\parallel(\alpha)$, khi chúng không có điểm chung. Nếu $d\subset(\alpha)$ thì không gọi là song song theo quy ước này.

Để chứng minh, xét mặt phẳng $(\beta)$ chứa hai đường song song $d,d^{\prime}$. Hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ phân biệt và có giao tuyến $d^{\prime}$. Nếu $d$ cắt $(\alpha)$ tại $I$ thì $I\in(\alpha)\cap(\beta)=d^{\prime}$, trái với $d\parallel d^{\prime}$. Do đó $d$ không cắt $(\alpha)$.

Điều kiện $d\not\subset(\alpha)$ không được bỏ. Hai đường song song cùng nằm trong $(\alpha)$ thỏa quan hệ về phương, nhưng không đường nào song song với chính $(\alpha)$. Có thể kiểm tra điều kiện bằng một điểm của $d$ nằm ngoài mặt phẳng.

2. Cách tổ chức lời giải

1. Tìm một đường $d^{\prime}$ nằm trong mặt phẳng đích, thường là cạnh đáy hoặc giao tuyến.
2. Chứng minh $d\parallel d^{\prime}$ bằng đường trung bình, Thales hoặc các quan hệ đã biết.
3. Chỉ rõ $d$ không nằm trong mặt phẳng đích, rồi áp dụng tiêu chuẩn.

Nếu $d\subset(\beta)$, $(\alpha)\cap(\beta)=\ell$ và $d\parallel(\alpha)$ thì trong $(\beta)$, hai đường $d,\ell$ không giao nhau. Vì thế $d\parallel\ell$. Kết quả này dùng để dựng thiết diện theo một phương song song.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Đường trung bình trong một mặt của tứ diện

Cho tứ diện không suy biến $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Chứng minh $MN\parallel(BCD)$.

Trong tam giác $ABC$, đoạn $MN$ là đường trung bình, nên $MN\parallel BC$. Mặt khác $BC\subset(BCD)$. Vì $A\notin(BCD)$ và $AB$ cắt $(BCD)$ duy nhất tại $B$, trung điểm $M$ không thuộc $(BCD)$. Do đó $MN\not\subset(BCD)$; tiêu chuẩn trên suy ra $MN\parallel(BCD)$.

Có thể kiểm tra bằng giao tuyến: $(ABC)\cap(BCD)=BC$, còn đường $MN$ nằm trong $(ABC)$ và song song, phân biệt với $BC$, nên không cắt $(BCD)$. Trong khi đó $MN\subset(ABC)$; không kết luận $MN\parallel(ABC)$.

Ví dụ 2. Chia hai cạnh theo cùng tỉ số

Vẫn với tứ diện $ABCD$, lấy $M\in AB$, $N\in AC$ sao cho $AM/AB=AN/AC=t$, với $0<t<1$. Định lý Thales đảo trong tam giác $ABC$ cho $MN\parallel BC$. Điểm $M$ nằm ngoài $(BCD)$ như ở ví dụ 1, nên $MN\parallel(BCD)$. Khi $t=1$, ta có $M=B,N=C$ và đường $MN$ nằm trong $(BCD)$; đó là trường hợp khác.

4. Bài tập tự luyện

1. Trong tứ diện $SABC$, $M,N$ là trung điểm $SA,SB$. Chứng minh $MN\parallel(ABC)$.
2. Cho hai đường song song $d,d^{\prime}$ cùng nằm trong $(\alpha)$. Vì sao không thể kết luận $d\parallel(\alpha)$?
3. Cho $d\subset(\beta)$, $d\parallel(\alpha)$ và $(\alpha)\cap(\beta)=\ell$. Chứng minh $d\parallel\ell$.

5. Những lỗi cần tránh

• Bỏ điều kiện đường thẳng không nằm trong mặt phẳng đích.
• Nhầm mặt phẳng chứa đường trung bình với mặt phẳng cần chứng minh song song.
• Cho điểm chia cạnh trùng đầu mút rồi vẫn dùng kết luận của trường hợp nội bộ.
• Chỉ dựa vào hình phối cảnh để khẳng định không có giao điểm.

Mở tài liệu bài tập gốc trên Scribd. Phần tự luyện trong bài có thể sử dụng ngay.

Các hình của tài liệu cũ để đối chiếu: Hình 1 · Hình 2.