Hàm số đơn điệu và điều kiện dấu đạo hàm

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Tính đơn điệu so sánh mọi cặp điểm trên một khoảng. Dấu đạo hàm giúp thực hiện phép so sánh ấy, nhưng phải xét từng khoảng xác định và phân biệt tăng nghiêm với không giảm.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Định nghĩa trên một khoảng

Cho hàm $f$ xác định trên khoảng $I$. Hàm đồng biến nghiêm trên $I$ nếu với mọi $x_1,x_2\in I$, $x_1<x_2$ kéo theo $f(x_1)<f(x_2)$. Nghịch biến nghiêm được định nghĩa bằng chiều $f(x_1)>f(x_2)$. Trong bài, “đồng biến”, “nghịch biến” dùng theo nghĩa nghiêm này; thay bằng dấu không nghiêm cho khái niệm không giảm, không tăng.

Đồ thị tăng từ trái sang phải minh họa đồng biến, nhưng một số điểm vẽ riêng không chứng minh tính chất cho mọi cặp điểm. Nếu miền bị ngắt tại một điểm không xác định, phải xét các khoảng riêng; không ghép hai khoảng qua chỗ ngắt thành một khoảng đơn điệu.

2. Dấu đạo hàm và cách làm

Giả sử $f$ khả vi trên $I$. Theo định lý giá trị trung bình, $f^{\prime}\ge0$ trên $I$ bảo đảm không giảm; $f^{\prime}\le0$ bảo đảm không tăng. Nếu dấu là nghiêm trên cả khoảng thì tính đơn điệu cũng nghiêm. Với dấu không nghiêm, vẫn có tính nghiêm nếu đạo hàm không đồng nhất bằng $0$ trên bất kỳ khoảng con nào. Điều kiện thuận tiện hơn là đạo hàm chỉ bằng $0$ tại hữu hạn điểm.

Thật vậy, nếu hàm không giảm mà có $u<v$ với $f(u)=f(v)$, mọi giá trị giữa chúng đều bằng nhau. Hàm khi ấy hằng trên $(u;v)$, nên đạo hàm bằng $0$ trên khoảng con ấy. Điều kiện vừa nêu loại trường hợp này. Chỉ có $f^{\prime}\ge0$ mà không loại đoạn hằng chưa đủ kết luận tăng nghiêm.

Cách xét: tìm miền, tính đạo hàm, tìm các điểm bằng $0$ hoặc không tồn tại, lập dấu trên từng khoảng rồi kết luận. Nếu dùng tham số, kiểm tra giá trị làm giảm bậc hoặc làm mẫu bằng $0$ trước khi áp dụng tiêu chuẩn đa thức.

3. Năm ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Dùng trực tiếp định nghĩa

Với $f(x)=2x+1$, nếu $x_1<x_2$ thì $f(x_2)-f(x_1)=2(x_2-x_1)>0$. Do đó hàm đồng biến trên $\mathbb R$.

Ví dụ 2. Hàm bậc hai

Cho $f(x)=x^2-2x+1$, miền $\mathbb R$. Đạo hàm $f^{\prime}(x)=2x-2$ âm khi $x<1$, bằng $0$ tại $1$, dương khi $x>1$. Vì vậy hàm nghịch biến trên $(-\infty;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty)$.

Ví dụ 3. Hai nghiệm đạo hàm

Với $f(x)=x^3-x^2-x+2$, $f^{\prime}=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$. Dấu lần lượt là dương, âm, dương trên ba khoảng ngăn bởi $-1/3$ và $1$. Vậy hàm đồng biến trên $(-\infty;-1/3)$ và $(1;+\infty)$, nghịch biến trên $(-1/3;1)$.

Ví dụ 4. Phân thức có điểm không xác định

Cho $f(x)=(2x+1)/(x-1)$, miền $\mathbb R\setminus\{1\}$. Ta có $f^{\prime}=-3/(x-1)^2<0$ với $x\ne1$. Kết luận nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$. Không gọi toàn bộ hợp hai khoảng là một khoảng nghịch biến: chẳng hạn $0<2$ nhưng $f(0)=-1<5=f(2)$.

Ví dụ 5. Tham số để đồng biến trên R

Cho $f(x)=x^3/3+(m+1)x^2+(m^2-1)x+3$. Đạo hàm là

Nếu $m\le-1$, đạo hàm không âm mọi $x$ và có nhiều nhất một nghiệm, nên hàm đồng biến nghiêm. Nếu $m>-1$, tại $x=-m-1$ đạo hàm âm; hàm khả vi đồng biến không thể có đạo hàm âm. Vì vậy điều kiện cần và đủ là $m\le-1$. Biên $m=-1$ được nhận vì khi ấy $f^{\prime}=x^2$, không tạo đoạn hằng.

4. Bài tập tự luyện

1. Xét tính đơn điệu của $f(x)=x^3$. Vì sao $f^{\prime}(0)=0$ không bác bỏ đồng biến?
2. Xét $f(x)=-2x+1$ trên $\mathbb R$.
3. Xét các khoảng đơn điệu của $(x+1)/(x-2)$.

5. Những lỗi cần tránh

• Đồng nhất dấu không âm với tăng nghiêm mà không loại đoạn hằng.
• Ghép các khoảng qua điểm không xác định.
• Chỉ lấy nghiệm đạo hàm mà không xét dấu.
• Bỏ giá trị tham số biên khi đạo hàm có nghiệm kép.

6. Bài học liên quan

• Cực trị của hàm số
• Tham số để đơn điệu trên khoảng
• Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.