Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Giải. Dạng lượng giác của $z$ là $$z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right).$$ Ta cần tìm số phức $\omega  = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)$ sao cho ${\omega ^2} = z.$ Kết hợp với công thức Moivre ở bài trước ta có phép biến đổi sau $$\begin{array}{l} {\omega ^2} = z \Leftrightarrow {r^2}\left( {\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi } \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right)\\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {r^2} = 2\\ \cos 2\varphi  = \cos {60^o}\\ \sin 2\varphi  = \sin {60^o} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = \sqrt 2 \\ \varphi  = {30^o} + k{180^o} \end{array} \right., k \in \mathbb{Z}. \end{array}$$ Lần lượt cho $k$ nhận các giá trị nguyên, ta được hai căn bậc hai của $z$ là $$\begin{array}{l} {\omega _1} = \sqrt 2 \left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i;\\ {\omega _2} = \sqrt 2 \left( {\cos {{210}^o} + i\sin {{210}^o}} \right) =  - \frac{{\sqrt 6 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i. \end{array}$$ Hai số phức $ \omega_1$ và $\omega_2$ được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ.

Căn bậc $n$ của số phức. Cho số phức $z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right).$ Vấn đề đặt ra là ta tìm căn bậc $n$ của $z$, nghĩa là ta đi tìm số phức $\omega  = s\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right)$ sao cho ${\omega ^n} = z,$ với $n \ge 1.$ Ta có $${\omega ^n} = z \Leftrightarrow {s^n}\left( {\cos n\alpha  + i\sin n\alpha } \right) = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {s^n} = r\\ \cos n\alpha  = \cos \varphi \\ \sin n\alpha  = \sin \varphi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} s = \sqrt[n]{r}\\ \alpha  = \frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n} \end{array} \right.,1 \le k \le n.$$ Như vậy mỗi số phức $z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)$ sẽ có $n$ căn bậc $n$ là $${\omega _k} = \sqrt[n]{r}\left[ {\cos \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}} \right) + i{\mathop{\rm sin}\nolimits} \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}} \right)} \right],1 \le k \le n.$$

Các số phức ${\omega _1},{\omega _2},...,{\omega _n}$ được biểu diễn bởi $n$ điểm cách đều nhau trên đường tròn tâm $O$ bán kính là $\sqrt[n]{r}$.


 

Ví dụ 2. Xác định các căn bậc bốn của số phức $z =  - 8 + 8\sqrt 3 i.$

Giải. Dạng lượng giác của $z$ là $$z = 16\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 16\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right).$$ Các căn bậc bốn của $z$ xác định theo công thức $${\omega _k} = \sqrt[4]{{16}}\left[ {\cos \left( {\frac{{2\pi /3}}{4} + \frac{{k2\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi /3}}{4} + \frac{{k2\pi }}{4}} \right)} \right] = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2}} \right)} \right],1 \le k \le 4.$$ Như vậy có $4$ căn bậc bốn của $z$ là $$\begin{array}{l} {\omega _1} = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{2}} \right)} \right] =  - 1 + \sqrt 3 i,\\ {\omega _2} = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \pi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \pi } \right)} \right] =  - \sqrt 3  - i,\\ {\omega _3} = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{3\pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{3\pi }}{2}} \right)} \right] = 1 - \sqrt 3 i,\\ {\omega _4} = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right)} \right] = \sqrt 3  + i. \end{array}$$ Các số phức ${\omega _1},{\omega _2},{\omega _3},{\omega _4}$ được biểu diễn bởi bốn điểm cách đều nhau trên đường tròn tâm $O$ bán kính bằng $2$.

 

 

Ví dụ 3. Xác định các căn bậc ba của $z = 1$.

Giải. Dạng lượng giác của $z$ là $$z = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}.$$ Các căn bậc ba của $z$ được xác định theo công thức $${\omega _k} = \root 3 \of 1 \left[ {\cos \left( {\frac{{\pi /2}}{3} + \frac{{k2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{\pi /2}}{3} + \frac{{k2\pi }}{3}} \right)} \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}} \right),1 \leqslant k \leqslant 3.$$ Như vậy các căn bậc ba cần tìm là 
$$\eqalign{   & {\omega _1} = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i,  \cr   & {\omega _2} = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{4\pi }}{3}} \right) =  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i,  \cr   & {\omega _3} = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i. \cr} $$ Và các số phức này có biểu diễn là các điểm cách đều nhau trên đường tròn có bán kính bằng $1$.