Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Giải. Ta có $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5.$

Bằng định lý Pitago ta dễ dàng kiểm chứng $\left| z \right| = OM = 5.$

Số phức được viết dưới dạng $z = a + bi$ còn được gọi là dạng đại số của số phức. Sau đây là cách biểu diễn khác của số phức $z = a + bi$.
 

Dạng lượng giác của số phức. Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi $\overrightarrow {OM} $ và chiều dương của trục $Ox$. Đặt $r = \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$

Khi đó ta có $$\left\{ \begin{gathered}   a = r\cos \alpha  \hfill \\   b = r\sin \alpha  \hfill \\ \end{gathered}  \right..$$ Khi đó số phức $z$ được viết lại $$z = r\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right).$$ Góc $ \alpha $ được gọi là argument của số phức $ z $, ký hiệu $ \arg \left( z \right). $

 

Ví dụ 2. Số phức $z = 1 + \sqrt 3 i$. Ta hãy tìm dạng lượng giác của nó. 
Một cách biến đổi khác để được dạng lượng giác của $z$ là $$z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right).$$


 

Bình luận 2. Theo như những gì ta đã đề cập ở Bình luận 1, do số phức $z$ và liên hợp số phức $z = r\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right)$ có liên hợp của nó là ${\bar z}$ được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành nên nếu $z = r\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right)$ thì số phức liên hợp là $\bar z = r\left[ {\cos \left( { - \alpha } \right) + i\sin \left( { - \alpha } \right)} \right]$.