Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Xác suất có điều kiện
Hai biến cố độc lập nhau. Xác suất có điều kiện.
Xác suất có điều kiện. Xác suất của biến cố $ A$ với điều kiện $ B$ đã xảy ra rồi, ký hiệu là $ P\left( A/B \right).$
Ví dụ 1. Thực hiện phép thử là tung con xúc sắc đồng chất 6 mặt. Gọi các biến cố
Ví dụ 1. Thực hiện phép thử là tung con xúc sắc đồng chất 6 mặt. Gọi các biến cố
- $ M:$ xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
- $ A:$ xuất hiện mặt có số chấm < 4.
- $ B:$ xuất hiện mặt có số chấm >2.
- $ C:$ xuất hiện mặt có số chấm <2.
Tất cả các biến cố sơ cấp trong phép thử này là $ {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}},{{A}_{6}}.$
Ta sẽ tính $ P\left( A/M \right),P\left( B/M \right),P\left( C/M \right).$
Khi biến cố $M$ xảy ra, không gian tất cả các biến cố sơ cấp thu hẹp lại còn 3 biến cố $ {{A}_{2}},{{A}_{4}},{{A}_{6}}.$ Trong ba biến cố này chỉ có biến cố sơ cấp $ {{A}_{2}}$ thuận lợi cho $ A$, $ {{A}_{4}},{{A}_{6}}$ thuận lợi cho $ B$, và không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho $ C$.
Như vậy, sau khi phép thử đã bị thu hẹp thì
$$ P\left( A/M \right)=\frac{1}{3};P\left( B/M \right)=\frac{2}{3};P\left( C/M \right)=\frac{0}{3}=0.$$
Hai biến cố độc lập. Nếu $ P\left( A/M \right)=P\left( A \right)$ thì ta nói biến cố $ A$ độc lập với biến cố $ M$. Nghĩa là sự có mặt của biến cố $ M$ không làm thay đổi xác suất xảy ra của biên cố $ A$.
Ví dụ 2. Ở Ví dụ 1 ta có $ P\left( B \right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}=P\left( B/M \right).$ Như vậy biến cố $ B$ độc lập với biến cố $ M$. Còn các biến cố $B$ và $C$ không độc lập với biến cố $M$.
Ví dụ 3. Có hai hội bi: hộp I gồm có 6 bi đỏ và 4 bi trắng; hộp II gồm có 7 bi đỏ và 3 bi trắng. Rút ra từ mỗi hộp 3 bi. Xét hai biến cố
$A:$ rút được 2 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp I;
$B:$ rút được 1 bi đỏ và 2 bi trắng từ hộp II.
$B:$ rút được 1 bi đỏ và 2 bi trắng từ hộp II.
Tính xác suất có điều kiện $P\left( {A/B} \right)$, $P\left( {B/A} \right)$.
Giải. Hiển nhiên là việc rút được ở hộp II bi màu gì chẳng có ảnh hưởng gì đến hộp I, và ngược lại. Do đó hai biến $A$ và $B$ ở trong ví dụ này là độc lập nhau. Do vậy ta dễ dàng tính xác suất có điều kiện
$$\eqalign{
& P\left( {A/B} \right) = P\left( A \right) = \frac{{C_6^2 \cdot C_4^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{2}; \cr
& P\left( {B/A} \right) = P\left( B \right) = \frac{{C_7^1 \cdot C_3^2}}{{C_{10}^3}} = \frac{7}{{40}}. \cr} $$
Ví dụ 4. Có hai hội bi: hộp I gồm có 6 bi đỏ và 4 bi trắng; hộp II gồm có 7 bi đỏ và 3 bi trắng. Rút ra từ mỗi hộp 3 bi bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II rút ra 3 bi. Tính xác suất có điều kiện $P\left( {B/A} \right)$, với
& P\left( {A/B} \right) = P\left( A \right) = \frac{{C_6^2 \cdot C_4^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{2}; \cr
& P\left( {B/A} \right) = P\left( B \right) = \frac{{C_7^1 \cdot C_3^2}}{{C_{10}^3}} = \frac{7}{{40}}. \cr} $$
Ví dụ 4. Có hai hội bi: hộp I gồm có 6 bi đỏ và 4 bi trắng; hộp II gồm có 7 bi đỏ và 3 bi trắng. Rút ra từ mỗi hộp 3 bi bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II rút ra 3 bi. Tính xác suất có điều kiện $P\left( {B/A} \right)$, với
$A:$ rút được 2 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp I;
$B:$ rút được 1 bi đỏ và 2 bi trắng từ hộp II.
$B:$ rút được 1 bi đỏ và 2 bi trắng từ hộp II.
Giải. Số lượng bi đỏ và trắng của hộp II sẽ thay đổi tuỳ thuộc vào $3$ bi từ hộp I bỏ sang là màu gì. Do vậy, biến cố $B$ không độc lập với biến cố $A$. Nếu $A$ xảy ra, thì hộp II có $13$ bi, trong đó có 9 bi đỏ và 4 bi trắng. Như vậy xác suất của biến cố $B$ với điều kiện $A$ đã xảy ra là
$$P\left( {B/A} \right) = \frac{{C_9^1 \cdot C_4^2}}{{C_{13}^3}} = \frac{{27}}{{143}}.$$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh