Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Giải. Áp dụng cộng thức $\left(  *  \right)$ ta có $$\left\{ \begin{gathered}   {{x'}_A} = 1 - 1 = 0 \hfill \\   {{y'}_B} = 2 + 2 = 4 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow A'\left( {0;4} \right).$$

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng $Oxy$ đường thẳng $\left( d \right):x + y - 1 = 0$ và vector $\vec v = \left( { - 1;2} \right).$ Tìm phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến ${T_{\vec v}}.$

 

Giải. Cách 1. Lấy bất kì một điểm $M\left( {x;y} \right) \in d$ và giả sử $M'\left( {x';y'} \right) = {T_{\vec v}}\left( M \right).$ Theo công thức $\left(  *  \right)$ ta có $$\left\{ \begin{gathered}   x' = x - 1 \hfill \\   y' = y + 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}   x = x' + 1 \hfill \\   y = y' - 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right..$$
Vì $M \in d$ nên toạ độ của $M$ phải thoả mãn phương trình của $d$, tức là ta có phương trình $$\left( {x' + 1} \right) + \left( {y' - 2} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow x' + y' - 2 = 0.\;\;\;\;\left( { *  * } \right)$$
Đẳng thức $\left( { *  * } \right)$ chứng tỏ điểm $M'$ luôn thuộc đường thẳng có phương trình $x + y - 2 = 0,$ và đây cũng chính là phương trình của $d'$.

Cách 2. chọn hai điểm phân biệt thuộc $d$ là $A\left( {1;0} \right),B\left( {2; - 1} \right)$. Gọi $A' = {T_{\vec v}}\left( A \right),B' = {T_v}\left( B \right).$ Áp dụng công thức $\left(  *  \right)$ ta được toạ độ của hai điểm này là $A'\left( {0;2} \right),B'\left( {1;1} \right)$. Vì đường thẳng $d'$ đi qua $A'$ và $B'$ nên có phương trình là $$\frac{{x - {x_{A'}}}}{{{x_{B'}} - {x_{A'}}}} = \frac{{y - {y_{A'}}}}{{{y_{B'}} - {y_{A'}}}} \Leftrightarrow \frac{{x - 0}}{{1 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow x + y - 2 = 0.$$
 

Bình luận 1. Cách 1 có vẽ ngắn gọn hơn cách 2, tuy nhiên lại không được "tự nhiên" hơn. Cách một tỏ ra rất hiệu quả khi tìm ảnh của đường tròn, elip,... khi mà ta đã biết được phương trình của "đối tượng tạo ảnh".

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng $Oxy$ đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4$ và vector $\vec v = \left( {-1;2} \right).$ Hãy tìm phương trình của $\left( {C'} \right)$ là ảnh của $\left( C \right)$ qua phép tịnh tiến ${T_{\vec v}}.$
 

Giải. Cách 1. Lấy bất kì một điểm $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$ và giả sử $M'\left( {x';y'} \right) = {T_{\vec v}}\left( M \right).$ Theo công thức $\left(  *  \right)$ ta có $$\left\{ \begin{gathered}   x' = x - 1 \hfill \\   y' = y + 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}   x = x' + 1 \hfill \\   y = y' - 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right..$$ Vì Vì $M \in \left( C \right)$ nên toạ độ của $M$ phải thoả mãn phương trình của $\left( C \right)$, tức là ta có phương trình $${\left( {x' + 1 - 1} \right)^2} + {\left( {y' - 2 - 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {{x'}^2} + {{y'}^2} - 8y' + 12 = 0\;\;\;\left(  \otimes  \right)$$
Đẳng thức $\left( \otimes \right)$ chứng tỏ điểm $M'$ luôn thuộc đường tròn có phương trình ${x^2} + {y^2} - 8y + 12 = 0$, và đây cũng chính là phương trình của $(C')$.

Cách 2. Tâm của đường tròn $\left( C \right)$ là $I\left( {1;2} \right)$ và giả sử $I' = {T_{\vec v}}\left( I \right)$. Áp dụng công thức $(*)$ ta có $I'\left( {0;4} \right)$. Hơn nữa vì phép tịnh tiến có tính chất bảo toàn khoảng cách nên bán kinh của đường tròn $(C')$ là $R' = R = 2.$ Đường tròn $(C')$ có tâm $I'\left( {0;4} \right)$ và có bán kính $R' = 2$ nên có phương trình là $${x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8y + 12 = 0.$$

Bình luận 2. Khi muốn tìm ảnh của những đường cong có phương trình phức tạp như elip, parabol,... , xin khuyến khích các bạn học sinh nên làm theo Cách 1. 

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho parabol $\left( P \right):y = 3{x^2} + 1$  và vector $\vec v = \left( {-1;2} \right).$ Hãy tìm phương trình của $\left( {P'} \right)$ là ảnh của $\left( P \right)$ qua phép tịnh tiến ${T_{\vec v}}$ và hãy cho biết $\left( {P'} \right)$ có là parabol hay không ?

 

Giải. Lấy một điểm $M\left( {x;y} \right) \in \left( P \right)$ và giả sử $M'\left( {x';y'} \right) = {T_{\vec v}}\left( M \right).$ Theo công thức $\left(  *  \right)$ ta có $$\left\{ \begin{gathered}   x' = x - 1 \hfill \\   y' = y + 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}   x = x' + 1 \hfill \\   y = y' - 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right..$$Vì $M \in \left( P \right)$ nên toạ độ của $M$ phải thoả mãn phương trình của $\left( P \right)$, tức là ta có phương trình $$y' - 2 = 3{\left( {x' + 1} \right)^2} + 1 \Leftrightarrow y' = 3{{x'}^2} + 6x' + 6.$$

Đây cũng là phương trình của $\left( {P'} \right)$ và từ phương trình này ta suy ra $\left( {P'} \right)$ là một parabol. 

Bình luận 3. Việc tìm ảnh của một "đối tượng" qua hép tịnh tiến ${T_{\vec v}}$ thực ra là ta dịch chuyển "đối tượng" đó một khoảng bằng độ lớn của vector $\vec v$ và theo hướng của $\vec v$. Như vậy "đối tượng" ta đang xét sẽ bảo toàn hình dạng khi dịch chuyển. Do vậy, qua phép tịnh tiến, elip sẽ biến thành elip, parabol biến thành parabol như Ví dụ 4.




 

---

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)