Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Giải. Ta phân tích ${\left( {1 + \frac{1}{{3x}}} \right)^x} = {\left[ {{{\left( {1 + \frac{1}{{3x}}} \right)}^{3x}}} \right]^{\frac{1}{3}}}.$ Khi ${x \to  + \infty }$ thì ${3x \to  + \infty }$. Do đó ${\left( {1 + \frac{1}{{3x}}} \right)^{3x}} \to e.$ Suy ra $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{3x}}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{1}{{3x}}} \right)}^{3x}}} \right]^{\frac{1}{3}}} = {e^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{e}.$$
 

Ví dụ 2. Tính giới hạn $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left( {\frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 3}}} \right)^x}.$

Giải. Chia đa thức ${{x^2} + 2x - 1}$ cho ${{x^2} + 3}$.  Ta có $$\frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 3}} = 1 + \frac{{2x - 4}}{{{x^2} + 3}}.$$ Ta phân tích $${\left( {\frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 3}}} \right)^x} = {\left( {1 + \frac{{2x - 4}}{{{x^2} + 3}}} \right)^x} = {\left[ {{{\left( {1 + \frac{{2x - 4}}{{{x^2} + 3}}} \right)}^{\frac{{{x^2} + 3}}{{2x - 4}}}}} \right]^{\frac{{2x - 4}}{{{x^2} + 3}} \cdot x}}.\left(  *  \right)$$ Khi $x \to  + \infty $ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 4}}{{{x^2} + 3}} \to {0.^{\;\;\left[ 1 \right]}}$ Do đó, trong sự phân tích $(*)$, $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left( {1 + \frac{{2x - 4}}{{{x^2} + 3}}} \right)^{\frac{{{x^2} + 3}}{{2x - 4}}}} = e.$$ Mặc khác, cũng trong $(*)$, ta có $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{2x - 4}}{{{x^2} + 3}} \cdot x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 4x}}{{{x^2} + 3}} = 2{.^{\;\;\left[ 1 \right]}}$$ Như vậy, $$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left( {\frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 3}}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{{2x - 4}}{{{x^2} + 3}}} \right)}^{\frac{{{x^2} + 3}}{{2x - 4}}}}} \right]^{\frac{{2x - 4}}{{{x^2} + 3}} \cdot x}} = {e^2}.$$