Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tích phân chứa trị tuyệt đối
Tích phân chứa trị tuyệt đối. Cách tính tích phân của hàm chứa trị tuyệt đối
Công thức phá trị tuyệt đối. $$\left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) \geqslant 0; \hfill \\
- f\left( x \right),\,\,\;\,\,\,f\left( x \right) < 0. \hfill \\
\end{gathered} \right.\;\;\;\;\;\left( * \right)$$
Cách tính tích phân chứa trị tuyệt đối. Khi tính tích phân dạng $\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $ ta tiến hành các bước sau
Bước 1. Xét dấu hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right];$
Bước 2. Phá trị tuyệt đối theo công thức $\left( * \right)$.
f\left( x \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) \geqslant 0; \hfill \\
- f\left( x \right),\,\,\;\,\,\,f\left( x \right) < 0. \hfill \\
\end{gathered} \right.\;\;\;\;\;\left( * \right)$$
Cách tính tích phân chứa trị tuyệt đối. Khi tính tích phân dạng $\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $ ta tiến hành các bước sau
Bước 1. Xét dấu hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right];$
Bước 2. Phá trị tuyệt đối theo công thức $\left( * \right)$.
Ví dụ. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx} .$
Bước 1. Xét dấu hàm $f\left( x \right) = x - 1$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right].$
Bước 2. Bỏ dấu trị tuyệt đối $$\left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{gathered}
x - 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]; \hfill \\
- \left( {x - 1} \right) = 1 - x,\,\,\,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]. \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ Suy ra $$\begin{gathered}
I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \hfill \\
\,\,\,\, = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0. \hfill \\
\end{gathered} $$
Bước 2. Bỏ dấu trị tuyệt đối $$\left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{gathered}
x - 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]; \hfill \\
- \left( {x - 1} \right) = 1 - x,\,\,\,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]. \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ Suy ra $$\begin{gathered}
I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \hfill \\
\,\,\,\, = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0. \hfill \\
\end{gathered} $$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh