Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Đồ thị hàm số: Hàm bậc ba
Đồ thị hàm số. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Hàm số bậc ba.
Hàm số bậc ba. Có dạng $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d , a \ne 0$.
Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 4.$
$\left( a \right)$ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$\left( b \right)$ Giới hạn:
$\left( b_1 \right)$ Nếu $a>0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } a{x^3} + b{x^2} + cx + d = \pm \infty .$
$\left( b_2 \right)$ Nếu $a<0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } a{x^3} + b{x^2} + cx + d = \mp \infty .$
$\left( b_2 \right)$ Nếu $a<0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } a{x^3} + b{x^2} + cx + d = \mp \infty .$
$\left( c \right)$ Cực trị: Ta có $y' = 3a{x^2} + 2bx + c$. Vì $ a \ne 0 $ nên đây là một tam thức bậc hai, do đó sẽ có $3$ trường hợp xảy ra
$\left( c_1 \right)$ $y'$ có hai nghiệm phân biệt $x_1 \ne x_2$, khi đó $y'$ sẽ đổi dấu khi qua hai nghiệm này. Do đó hàm số có hai cực trị.
$\left( c_2 \right)$ $y'$ có một nghiệm kiép $x_0$, và $y'$ sẽ không đổi dấu khi đi qua $x_0$. Do đó trong trường hợp này hàm số không có cực trị.
$\left( c_3 \right)$ $y'$ vô nghiệm thì hàm số cũng không có cực trị.
$\left( c_2 \right)$ $y'$ có một nghiệm kiép $x_0$, và $y'$ sẽ không đổi dấu khi đi qua $x_0$. Do đó trong trường hợp này hàm số không có cực trị.
$\left( c_3 \right)$ $y'$ vô nghiệm thì hàm số cũng không có cực trị.
$\left( d \right)$ Tiệm cận: Hàm bậc ba không có tiệp cận.
$\left( e \right)$ Điểm uốn - tâm đối xứng: Điểm uốn $I$, mà cũng là tâm đối xứng, có hoành độ là nghiệm của $y''$.
$\left( f \right)$ Tính đơn điệu: Tuỳ vào dấu của hệ số $a$ và nghiệm của $y'$ mà tính đơn điệu và đồ thị của hàm số bậc ba được chia ra $6$ trường hợp như sau
$\left( e \right)$ Điểm uốn - tâm đối xứng: Điểm uốn $I$, mà cũng là tâm đối xứng, có hoành độ là nghiệm của $y''$.
$\left( f \right)$ Tính đơn điệu: Tuỳ vào dấu của hệ số $a$ và nghiệm của $y'$ mà tính đơn điệu và đồ thị của hàm số bậc ba được chia ra $6$ trường hợp như sau
| $a>0$ | $a<0$ | |
| $y'$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ |
  |
  |
| $y'$ có nghiệm kép $x_0$ |
  |
  |
| $y'$ vô nghiệm |
  |
  |
Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 4.$
Giải. $ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$ \bullet $ Giới hạn: $$\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 4} \right) = + \infty ; \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 4} \right) = - \infty . \cr} $$
$ \bullet $ Sự biến thiên: Ta có $y' = 6\left( {{x^2} - 3x + 2} \right).$ Suy ra $$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = 1\\
x = 2 \Rightarrow y = 0
\end{array} \right.$$
$ \bullet $ Tiệm cận: Hàm số không có tiệm cận.
$ \bullet $ Bảng biến thiên
$ \bullet $ Cực trị: ${y_{CD}} = y\left( 1 \right) = 1;{y_{CT}} = y\left( 2 \right) = 0.$
$ \bullet $ Đồ thị: Ta có $y'' = 6\left( {3x - 2} \right)$. Suy ra $y'' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}.$ Do đó tâm đối xứng là $I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right).$
Form vẽ đồ thị:
$ \bullet $ Giới hạn: $$\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 4} \right) = + \infty ; \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 4} \right) = - \infty . \cr} $$
$ \bullet $ Sự biến thiên: Ta có $y' = 6\left( {{x^2} - 3x + 2} \right).$ Suy ra $$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = 1\\
x = 2 \Rightarrow y = 0
\end{array} \right.$$
$ \bullet $ Tiệm cận: Hàm số không có tiệm cận.
$ \bullet $ Bảng biến thiên
$ \bullet $ Đồ thị: Ta có $y'' = 6\left( {3x - 2} \right)$. Suy ra $y'' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}.$ Do đó tâm đối xứng là $I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right).$
Form vẽ đồ thị:
Bài tập
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh