Khảo sát và vẽ đồ thị hàm nhất biến. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc nhất trên bậc nhất.
Hàm nhất biến. Có dạng $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},\;\;ad \ne bc.$
$\left( a \right)$ Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{d}{c}} \right\}$.
$\left( b \right)$ Giới hạn và tiệm cận:
$\left( b_1 \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{d}{c}} \right)}^ \pm }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{d}{c}} \right)}^ \pm }} \frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \pm \infty \Rightarrow x = - \frac{d}{c}$ là phương trình của tiệm cận đứng.
$\left( b_2 \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \leftrightarrow \pm \infty } \frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \frac{a}{c} \Rightarrow y = \frac{a}{c}$ là phương trình của tiệm cận ngang.
$\left( c \right)$ Cực trị: Ta có $y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b \\
c&d
\end{array}} \right|}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$ có dấu không đổi nên hàm số không có cực trị.
$\left( e \right)$Trục đối xứng: Giao điểm của hai tiệm cận $I\left( { - \frac{d}{c};\frac{a}{c}} \right)$ là tâm đối xứng.
$\left( f \right)$ Tính đơn điệu: Tuỳ vào dấu của $y'$ mà tính đơn điệu và đồ thị của hàm nhất biến có $2$ trường hợp sau
$y' < 0$
$y' > 0$
Nhãn Vi dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{{4x + 1}}{{2x - 1}}$.
$ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}.$
$ \bullet $ Sự biến thiên: Ta có $$y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&1 \\
2&{ - 1}
\end{array}} \right|}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{4\left( { - 1} \right) - 2.1}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = - \frac{6}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D.$$ Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).$
$ \bullet $ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
$ \bullet $ Tâm đối xứng: Giao điểm $I\left( {\frac{1}{2};2} \right)$ của hai tiệm cận là tâm đối xứng.
$ \bullet $ Bảng biến thiên:
Form vẽ đồ thị hàm nhất biến
Bài tập
Nhiều bài tập hơn khiđăng ký học tại Trung Tâm Cùng Học Toán
Đồ thị y'>0 thì x= - d/c mà ad, TCĐ lúc nào chả thế.
@Võ Tấn Phát đúng rồi, thầy viết nhầm Cảm ơn Phát.
add xét dấu bản biến thiên là dựa vào điều kiện nào vậy ? , hi
@Lê Anh Quân Chào bạn Quân, dựa vào dấu của đạo hàm y'.