Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Khi giải phương trình lượng giác dạng này chú ý là $- 1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ và $- 1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ để đặt điều kiện cho phù hợp.
Ví dụ 1. Giải phương trình ${\sin ^2}x - 4\sin x + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$
Giải. Đặt $t = \sin x,\,\, - 1 \leqslant t \leqslant 1,$ khi đó $$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 1\,\,\,\,\left( n \right) \hfill \\
t = 3\,\,\,\,\left( l \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ Với $t = 1 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .$
Ví dụ 2. Giải phương trình ${\tan ^2}x - 4\tan x + 3 = 0\,\,\,\left( 2 \right)$
Giải. Điều kiện $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi .$
Đặt $t = \tan x,$ ta có $$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 1\, \hfill \\
t = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ Với $t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
Với $t = 3 \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,{\text{ }}\alpha = \arctan 3.$
Ví dụ 3. Giải phương trình $3{\cos ^2}x - 4\sin x - 4 = 0.$
Giải. Trước tiên ta dùng công thức ${\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x$ để biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với $\sin x$
$$\begin{array}{l}
3{\cos ^2}x - 4\sin x - 4 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 4\sin x - 4 = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x + 4\sin x + 1 = 0.\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = - 1\\
\sin x = - \frac{1}{3}
\end{array} \right.
\end{array}$$
$ \bullet \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;$
$ \bullet \sin x = - \frac{1}{3} = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \alpha + k2\pi \hfill \\
x = \pi - \alpha + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.,\;\;\alpha = \arcsin \frac{1}{3}.$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Chú ý: Việc đăng lại bài viết trên ở website hoặc các phương tiện truyền thông khác mà không ghi rõ nguồn http://nukeviet.vn là vi phạm bản quyền
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh