Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Phương trình logarit - Đưa về cùng cơ số
Phương trình logarit. Các phương pháp giải phương trình logarit. Giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số.
| Với $0<a \ne 1$, $f\left( x \right),g\left( x \right) > 0$ ta có $${\log _a}f\left( x \right) = {\log _b}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$$ |
Ví dụ 1. Giải phương trình ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x + {\log _3}\left( {x + 2} \right) = 1{\rm{ }}\left( * \right)$
Giải. Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0.$
Khi đó $$\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _3}x\left( {x + 2} \right) = {\log _3}3 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1{\rm{ }}\left( l \right)\\
x = 3{\rm{ }}\left( n \right)
\end{array} \right.$$
x > 0\\
x + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0.$
Khi đó $$\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _3}x\left( {x + 2} \right) = {\log _3}3 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1{\rm{ }}\left( l \right)\\
x = 3{\rm{ }}\left( n \right)
\end{array} \right.$$
Ví dụ 2. Giải phương trình $\log \left( {x + 10} \right) + \frac{1}{2}\log {x^2} = 2 - \log 4$.
Giải. Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
x + 10 > 0\\
{x^2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > - 10\\
x \ne 0
\end{array} \right..$
$$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow \log \left( {x + 10} \right) + \frac{1}{2}\log {x^2} = 2 - \log 4\\
\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \log \left( {x + 10} \right) + \log \left| x \right| = \log 100 - \log 4\\
\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \log \left[ {\left| x \right|\left( {x + 10} \right)} \right] = \log \frac{{100}}{4}\\
\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left| x \right|\left( {x + 10} \right) = 25\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( { * * } \right)
\end{array}$$
Với $x>0$ $\left( { * * } \right) \Leftrightarrow x\left( {x + 10} \right) = 25 \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 5 + 5\sqrt 2 \;\;\;\;\left( n \right)\\
x = - 5 - 5\sqrt 2 \;\;\;\;\left( l \right)
\end{array} \right.$
Với Với $x<0$ $\left( { * * } \right) \Leftrightarrow - x\left( {x + 10} \right) = 25 \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 = 0 \Leftrightarrow x = - 5\;\;\;\;\;\left( n \right)$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 5 + 5\sqrt 2 ,x = - 5$.
x + 10 > 0\\
{x^2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > - 10\\
x \ne 0
\end{array} \right..$
$$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow \log \left( {x + 10} \right) + \frac{1}{2}\log {x^2} = 2 - \log 4\\
\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \log \left( {x + 10} \right) + \log \left| x \right| = \log 100 - \log 4\\
\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \log \left[ {\left| x \right|\left( {x + 10} \right)} \right] = \log \frac{{100}}{4}\\
\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left| x \right|\left( {x + 10} \right) = 25\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( { * * } \right)
\end{array}$$
Với $x>0$ $\left( { * * } \right) \Leftrightarrow x\left( {x + 10} \right) = 25 \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 5 + 5\sqrt 2 \;\;\;\;\left( n \right)\\
x = - 5 - 5\sqrt 2 \;\;\;\;\left( l \right)
\end{array} \right.$
Với Với $x<0$ $\left( { * * } \right) \Leftrightarrow - x\left( {x + 10} \right) = 25 \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 = 0 \Leftrightarrow x = - 5\;\;\;\;\;\left( n \right)$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 5 + 5\sqrt 2 ,x = - 5$.
Bài tập
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh