Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Phương trình mũ - Dùng đặc trưng hàm số
Phương trình mũ. Các phương pháp giải phương trình mũ. Giải phương trình mũ bằng phương pháp dùng đặc trưng hàm số, khảo sát hàm số.
Trong phần này ta sẽ dùng phương pháp khảo sát hàm số đễ giải những phương trình mũ không mẫu mực. Cần nhắc lại rằng
Ví dụ 1. Giải phương trình ${3^x} + {4^x} = {5^x}$.
| Mệnh đề 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp $1$ trên khoảng $\left( {a;b} \right)$, khi đó
$\left( i \right)$ $ f\left( x \right)$ tăng trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ khi và chỉ khi $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right);$
$\left( ii \right)$ $ f\left( x \right)$ giảm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ khi và chỉ khi $f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {a;b} \right).$ Dấu $=$ chỉ được xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$
|
| Mệnh đề 2. Nếu hàm số $ f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm đến cấp $k$ trên khoảng $\left( {a;b} \right),$ đồng thời đạo hàm cấp $k$ của $ f\left( x \right)$ vô nghiệm trên $\left( {a;b} \right)$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nhiều nhất là $k$ nghiệm thuộc $\left( {a;b} \right)$. |
Ví dụ 1. Giải phương trình ${3^x} + {4^x} = {5^x}$.
Giải. Đầu tiên ta thấy $x=2$ là một nghiệm của phương trình. Bây giờ ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất bằng cách dùng Mệnh đề 2. Ta có $$PT \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$$ Đặt $f\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 1,\forall x \in \mathbb{R}.$ Suy ra $$f'\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}.$$
Suy ra $f'\left( x \right)$ vô nghiệm. Theo Mệnh đề 2 thì $f\left( x \right)$ có không qúa $1$ nghiệm. Nghĩa là $x=2$ là nghiệm duy nhất.
Ta có cũng có thể lập luận như sau: Theo Mệnh đề 1 thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$, như vậy đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ cắt trục $Ox$ tại nhiều nhất $1$ điểm. Và giao điểm này, nếu có, cũng chính là nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$. Như vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình ${9^x} + 2\left( {x - 3} \right){3^x} - 2x + 5 = 0$
Suy ra $f'\left( x \right)$ vô nghiệm. Theo Mệnh đề 2 thì $f\left( x \right)$ có không qúa $1$ nghiệm. Nghĩa là $x=2$ là nghiệm duy nhất.
Ta có cũng có thể lập luận như sau: Theo Mệnh đề 1 thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$, như vậy đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ cắt trục $Ox$ tại nhiều nhất $1$ điểm. Và giao điểm này, nếu có, cũng chính là nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$. Như vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình ${9^x} + 2\left( {x - 3} \right){3^x} - 2x + 5 = 0$
Ta biến đổi để được phương trình tích $$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow {9^x} + 2x{.3^x} - {6.3^x} - 2x + 5 = 0\\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {3^{2x}} + 2x{.3^x} - {5.3^x} - {3^x} - 2x + 5 = 0\\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {3^x}\left( {{3^x} + 2x - 5} \right) - \left( {{3^x} + 2x - 5} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {{3^x} + 2x - 5} \right)\left( {{3^x} - 1} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{3^x} = 1\\
{3^x} + 2x - 5 = 0{\rm{ }}\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}$$
Với ${3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.$
Với ${3^x} + 2x - 5 = 0.$ Đặt $$f\left( x \right) = {3^x} + 2x - 5 \Rightarrow f'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}.$$
Suy ra $f'\left( x \right)$ vô nghiệm. Suy ra $f\left( x \right)$ có không qúa $1$ nghiệm. Nghĩa là $x=1$ là nghiệm duy nhất của $\left( * \right).$
Cách khác, $$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow {t^2} + 2\left( {x - 3} \right)t - 2x + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\Delta '}_t} = {\left( {x - 3} \right)^2} + 2x - 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}\\
\,\left( * \right)\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = 5 - 2x
\end{array} \right.
\end{array}$$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.$
Với $t = 5 - 2x \Leftrightarrow {3^x} = 5 - 2x$, có thể giải theo cách trên. Hoặc có thể lập luận thế này
Đầu tiên ta thấy $x=1$ là một nghiệm của phương trình ${3^x} = 5 - 2x$. Mặt khác hàm số $f\left( x \right) = {3^x}$ là hàm mũ có cơ số $ a = 3 >1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Trong khi đó hàm số $g\left( x \right) = 5 - 2x$, theo Mệnh đề 1, nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Do đó, đồ thị của hai hàm này cắt nhau nhiều nhất là tại $1$ điểm. Và giao điểm này, nếu có, cũng chính là nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right).$ Như vậy $x=1$ là một nghiệm duy nhất của phương trình ${3^x} = 5 - 2x$.
PT \Leftrightarrow {9^x} + 2x{.3^x} - {6.3^x} - 2x + 5 = 0\\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {3^{2x}} + 2x{.3^x} - {5.3^x} - {3^x} - 2x + 5 = 0\\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {3^x}\left( {{3^x} + 2x - 5} \right) - \left( {{3^x} + 2x - 5} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {{3^x} + 2x - 5} \right)\left( {{3^x} - 1} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{3^x} = 1\\
{3^x} + 2x - 5 = 0{\rm{ }}\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}$$
Với ${3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.$
Với ${3^x} + 2x - 5 = 0.$ Đặt $$f\left( x \right) = {3^x} + 2x - 5 \Rightarrow f'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}.$$
Suy ra $f'\left( x \right)$ vô nghiệm. Suy ra $f\left( x \right)$ có không qúa $1$ nghiệm. Nghĩa là $x=1$ là nghiệm duy nhất của $\left( * \right).$
Cách khác, $$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow {t^2} + 2\left( {x - 3} \right)t - 2x + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\Delta '}_t} = {\left( {x - 3} \right)^2} + 2x - 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}\\
\,\left( * \right)\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = 5 - 2x
\end{array} \right.
\end{array}$$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.$
Với $t = 5 - 2x \Leftrightarrow {3^x} = 5 - 2x$, có thể giải theo cách trên. Hoặc có thể lập luận thế này
Đầu tiên ta thấy $x=1$ là một nghiệm của phương trình ${3^x} = 5 - 2x$. Mặt khác hàm số $f\left( x \right) = {3^x}$ là hàm mũ có cơ số $ a = 3 >1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Trong khi đó hàm số $g\left( x \right) = 5 - 2x$, theo Mệnh đề 1, nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Do đó, đồ thị của hai hàm này cắt nhau nhiều nhất là tại $1$ điểm. Và giao điểm này, nếu có, cũng chính là nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right).$ Như vậy $x=1$ là một nghiệm duy nhất của phương trình ${3^x} = 5 - 2x$.
Ví dụ 3. Giải phương trình ${3^x} + {5^x} = 6x + 2{\text{ }}\left( * \right).$
Đặt $f\left( x \right) = {5^x} + {3^x} - 6x + 2$ xác định trên $\mathbb{R}$.
Vì đạo hàm cấp hai $f''\left( x \right) = {5^x}{\ln ^2}5 + {3^x}{\ln ^2}3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên theo Mệnh đề 2, phương trình $\left( * \right)$ có nhiều nhất là hai nghiệm.
Mặt khác $x = 0,x = 1$ là hai nghiệm của $\left( * \right)$, và do đó phương trình cũng chỉ có hai nghiệm này mà thôi.
Vì đạo hàm cấp hai $f''\left( x \right) = {5^x}{\ln ^2}5 + {3^x}{\ln ^2}3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên theo Mệnh đề 2, phương trình $\left( * \right)$ có nhiều nhất là hai nghiệm.
Mặt khác $x = 0,x = 1$ là hai nghiệm của $\left( * \right)$, và do đó phương trình cũng chỉ có hai nghiệm này mà thôi.
Bình luận. Trong bài giải trên, có một điểm không tự nhiên là việc "nhẫm" nghiệm của phương trình. Vấn đề là ta nhẫm thế nào? Và nếu không nhẫm được thì sao? Đây là vấn đề hạn chế của phương pháp này. Do đó, việc đưa ra phương pháp để giải một phương trình, nói chung, chỉ mang tính chất tương đối.
Ví dụ 4. Giải phương trình ${6^x} + {2^x} = {5^x} + {3^x}{\text{ }}\left( * \right)$
Ví dụ 4. Giải phương trình ${6^x} + {2^x} = {5^x} + {3^x}{\text{ }}\left( * \right)$
Chia hai vế của phương trình cho ${6^x}$ ta được $PT \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{6}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} - 1 = 0.$
Đặt $f\left( x \right) = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} - 1,x \in \mathbb{R}.$ Suy ra $$\begin{gathered}
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{6}} \right)^x}\ln \left( {\frac{6}{5}} \right) + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln 2 = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\ln 3 \hfill \\
{\text{ }} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x}{\log _3}\frac{6}{5} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}{\log _3}2 = 1{\text{ }}\left( { * * } \right) \hfill \\
\end{gathered} $$ Phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có nhiều nhất là $1$ nghiệm vì $VT$ của $\left( { * * } \right)$ là một hàm đồng biến. Do đó $\left( * \right)$ có không quá $2$ nghiệm. Mà $x = 0,x = 1$ là $2$ nghiệm của $\left( * \right)$, và đây là tất cả các nghiệm cần tìm.
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Đặt $f\left( x \right) = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} - 1,x \in \mathbb{R}.$ Suy ra $$\begin{gathered}
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{6}} \right)^x}\ln \left( {\frac{6}{5}} \right) + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln 2 = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\ln 3 \hfill \\
{\text{ }} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x}{\log _3}\frac{6}{5} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}{\log _3}2 = 1{\text{ }}\left( { * * } \right) \hfill \\
\end{gathered} $$ Phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có nhiều nhất là $1$ nghiệm vì $VT$ của $\left( { * * } \right)$ là một hàm đồng biến. Do đó $\left( * \right)$ có không quá $2$ nghiệm. Mà $x = 0,x = 1$ là $2$ nghiệm của $\left( * \right)$, và đây là tất cả các nghiệm cần tìm.
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh